桂田研卒研ノート

　主に数値計算法を中心に、過去の卒研や院生ゼミで扱った題材についてまとめた (寄せ集めた) ものです。 (こんなの書きたくないのですが、数値計算関係は学生が迷子になってしまう本が多くて…)

　プログラムについては、「公開プログラムのページ」を探した方がよいかも。また、コンピューターの使いこなしについては、「桂田研KnowHowページ」が参考になるかも。

　最近は内輪向けのノートが多くなって、それらは毛色が違うので、ここには載せていません (卒研資料室というところに置いてあります)。

新し目の更新

「1 次元の Poisson 方程式」 (2024/9/4)
「2次元 Poisson 非同次 Dirichlet 境界値問題を解く差分法プログラム (MATLAB)」 (2024/8/25) Neumann境界値問題版もプログラムは出来ていますが、解説の方はもっと推敲が必要なので (色々新しいことが分かって、なかなか脱稿とならない)、しばらくは非公開にしておきます。
「非同次 Neumann 境界条件下の熱方程式に対する差分法 --- MATLAB を使って数値計算」 (2024/8/24)
「2次元熱方程式の非同次 Dirichlet 境界値問題を解く差分法プログラムを作る」 (2024/8/17)
「剛体の運動」 (2024/3/20, 部分的にランダウ・リフシッツの読書ノートなので内輪向け)
「常微分方程式を学ぶ」 (2022/3/9〜)
『定数係数線形常微分方程式の解の漸近挙動』 (2022/3/2)
「常微分方程式の初期値問題を解くプログラムの書き方」(2021 April)
「Julia メモ」 (2019/12/2)
「乱数とつきあう」 (2019/6/22)
「Eigen を使って常微分方程式の初期値問題を解く」 (2018/10/17) --- Eigen 入門として
「新MATLAB入門」(2018/8/27)
『なんとか C++ を使う』 (PDF), (HTML) (2018/7/1)
『数値積分解説』 (PDF), (HTML) (2017/7/12〜) (以前「数値積分」を書いたけれど、授業で説明する段になってイマイチかなと考えて、更新するつもりで描き始めた。そのうちマージする。)
『C, C++で複素数』(PDF), (HTML) (2010年9月, 2016/3, 2016/12)
「kvを試してみる」 (2016/3/3〜)
『Python 3覚書』 (HTML), (PDF) (2016/2/25) 『Python覚書』の Python 3 への移行。

プログラミング

『C言語これくらいは覚えよう』 (HTML), (PDF)
『GLSCの紹介』 (HTML), (PDF)
『GLSC3Dの勧め』 (HTML), (PDF)
『C言語の関数ポインターの使い方のサンプル』

常微分方程式

　しばらく常微分方程式関係の解説やサンプル・プログラム書きに注力するつもり (ずっと以前やったのが古くなったから)。

『常微分方程式の初期値問題の数値解法』 (PDF), (HTML) 数値解法の理論の入門。相当粗雑なのだが、ないよりはましか… (こういうのを説明する授業を長いこと担当していないからなあ、と言い訳する)。
『常微分方程式の初期値問題の数値解法入門』 (上とほとんど同じ題だ :-) これは理論というよりノウハウ入門である。) (PDF), (HTML)
これは(数学科2年生向けの講義)情報処理IIの資料 (『1995年度情報処理II』参照) が元になったものです。
「情報処理II」の時に使っているグラフィックス・ライブラリィは自作 (fplot 『公開プログラムのページ』) でしたが、GLSCを使うように書き換えました (2021/4/13)。
数値計算とは関係ないけれど、『常微分方程式メモ』 (PDF), (DVI), (HTML) (読書ノートの色彩が濃くなったので、メンバーのみに公開)
明治大学理工学部 1 年生向けの講義科目『基礎数学IV』の講義ノートの常微分方程式の部分 (PDF) (最近は主にこちらの方に手を入れています。) …結局教科書を書くことになりました。そちらの作業の成果はそのうち部分的にフィードバックしたいと思っています。
定数係数線形常微分方程式の初期値問題の特解を求めるための Green関数については、 (PDF), (HTML)
境界値問題のGreen関数については、 (PDF), (HTML)
Juliaで解いてみる「素朴に常微分方程式の初期値問題」

線形計算

『連立1次方程式 I --- 計算量と直接法』(PDF)
Gauss の消去法や LU 分解、それらに要する計算量の話。
ここに載せたプログラム LU-decomp.tar.gz, tridiagonal.tar.gz, bandlu.tar.gz, symbandlu.tar.gz
『発展系の数値解析』の続きを書くつもりでいて、その下書きにある LU 分解の解説の方が整っているかも。 (PDF), (DVI)
『連立1次方程式 II --- 反復法』(PDF)
定常反復法 (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR), 非定常反復法 (CG 法など)。
反復法は、どういう問題(≒係数行列)を解くか前提をはっきりさせないと、まともな議論は出来ない。
定常反復法のところがすごく舌足らず。穴埋めに差分法のところの『Poisson 方程式に対する差分法』とか (場所が分離しているのはおかしいかも)。
『連立1次方程式 III --- 自分が使うための線型代数』(PDF), (DVI)
ノルムや誤差解析など、普通の線形代数には詳しく書かれていないことについての覚書。
『Cholesky分解ノート』(PDF), (DVI)
その中にあるプログラム cholesky-prog.tar.gz
まとめる前に、また初心者向けの解説 (しかも書きかけ) を書きました。『線形計算』イントロを今だったらこんな風に始めるかと言う例。
『新 MATLAB 入門』 (HTML), (PDF)
これは古い方。『MATLAB ノート』 (HTML), (PDF) --- 以下の文書などをマージしたもので、未整理です。
『MATLAB 手習い』 (PDF), (DVI), (HTML)
授業用資料『数値計算ソフトウェアの動向& -Δの固有値問題』 (HTML), (PDF) も参考になるでしょう。
Octave で LU 分解を用いるときには注意が必要という『Octave 上で LU 分解で連立一次方程式を解く』 (PDF), (DVI)
『行列の固有値問題』(PDF), (DVI), (HTML)
行列の固有値問題の数値解法。
『固有値問題ノートの補足』(PDF), (DVI), (HTML) (Sylvester の慣性律の説明を追加 2013/8)
『応用数理実験レポート実対称行列の三重対角化』 by 福澤誠人
『一般化固有値問題メモ』 (PDF), (DVI), (HTML)
『渡部・山本・中尾の一般化固有値問題の論文(1999)を読む』 (内輪向け) (PDF), (DVI), (HTML)
講義科目「数理解析特論」から
- 『冪乗法』 (HTML), (PDF)
- 『三重対角化』 (HTML), (PDF)
『Trefethen and BAU III の読書ノート』(内輪向け) (PDF), (DVI)
『LAPACK の dgbsv で連立1次方程式を解く』 (HTML), (PDF)
やはり LAPACK を使わないといけないが、 C で育った子供たちには敷居が高いので、 C から LAPACK をどうやって利用するかという話

差分法

　なかなか決着はつかない、というか知りたいことがどんどん増えます。『公開プログラムのページ』にプログラム (全部ではない) が載せてあります。

『どこでも熱方程式』 (仮称)十進BASIC, C&fplot, C&GLSC, C&EGGX, C&GLUT, Java …色々な環境下で 1次元熱方程式を差分法で解く。
「差分法の勉強の手引き」ここにおいてある資料を使って勉強してみる学生向け。
放送大学講義科目『応用数学』第7章『発展系の数値解析』 (PDF)
内容は 1 次元熱方程式の初期値境界値問題に対する差分法。
「『発展系の数値解析』に加えること」 (PDF)
『熱方程式に対する差分法 I --- 区間における熱方程式』 (PDF)
主に 2 次元長方形領域における熱方程式に対する差分法。
行列法による安定性解析の説明部分を書き直すつもり。その下書きが「『発展系の数値解析』に加えること」 (PDF) に入っている。
MATLABを使った2次元長方形領域における熱方程式のプログラムの説明。本来『熱方程式に対する差分法 I --- 区間における熱方程式』に入れるべきだけど、暇がないので。(2015/6)
「長方形領域における熱方程式に対する差分法(Dirichlet」, heat2d.m, heat2d_mat.m
「Neumann境界条件下の熱方程式に対する差分法」, heat2n.m, heat2n_mat.m 「2次元熱方程式の非同次 Dirichlet 境界値問題を解く差分法プログラムを作る」
『熱方程式に対する差分法 II --- 円盤領域、円柱領域、球領域における熱方程式』 (PDF)
2007年春少し書き足しました。 2011年PDFにしおり入れました。
ここにマージしたくてまだ作業途中であるものをリスト・アップすると
- プログラム heat-fdm-2-prog.tar.gz
- 円柱領域での差分法『円柱領域における熱方程式に対する差分法』
- 円柱領域での厳密解: 2004年度卒研レポート吉原健治『3次元円柱領域における熱方程式・Laplace方程式の厳密解について』
- 『Bessel関数の数値計算』 (C や Java のプログラム中で Bessel 関数を計算するための手段)
『Poisson 方程式に対する差分法』 (PDF)
『波動方程式に対する差分法』 (PDF), (HTML)
『ラプラシアンの固有値問題』 (準備中 --- 材料はあるのですが…)

有限要素法

『FreeFEM++ノート』 (HTML), (PDF) (2012/7/3〜)
『FreeFEM++の紹介』 (HTML), (PDF)
『ポアソン方程式に対する有限要素法』(PDF), (DVI) (出来が悪いので内輪向けです…)
『有限要素法サンプルプログラム(PDF)』, (HTML)
C によるプログラム一式 c.tar.gz
院生必読の菊地文雄先生の『有限要素法の数理』 (サイエンス社) の読書ノート (PDF), (DVI), (HTML) (当然内輪向け)
Poisson 方程式に対する有限要素法の解析超特急 (内輪向け)
流体力学の方程式に対する有限要素法 (内輪向け)
学生、院生のレポートにも参考になるものが。
- 工藤丈征 (森本研), 『有限要素法による定常 Navier-Stokes 方程式の数値解析プログラム』 (1995年2月) (PDF)
- 野沢崇,『Stokes方程式の有限要素法』(1998年3月) (PDF)
- 高藤康孝,『偏微分方程式の固有値問題〜有限要素法バージョン〜』 (PDF)
- 石川邦臣,『2次元熱方程式の有限要素法』 (1999年3月) (PDF)
- 鈴木康大,『偏微分方程式の固有値問題の有限要素法による解法』 (1999年3月) (PDF)
- 福澤誠人, 『定常Stokes方程式の有限要素解の事後誤差評価と事前誤差評価』 (2004年2月) (PDF)
- 福嶋剛史 (森本研), 『一般流束条件での定常Navier-Stokes方程式の数値解析』 (2004年2月) (PDF) (PDF2)

「卒研ノウハウ」から

　二つに分けていると、どちらにアクセスしたものか分かりにくい。マージするのも難しいところがあるので、こちらに載せても良さそうなものをピックアップしておく (このところメンテナンスしていないので情報が古いのが多い)。

misc

代数方程式の数値解法については、材料はあるのですが…
代わりに応用解析IVの講義ノート『非線形方程式、特に代数方程式の数値解法』 (PDF), (HTML) (ぐちゃぐちゃだけど…)
Newton 法についても『非線形方程式、特に代数方程式の数値解法』に色々 (理論、入門プログラム、多次元問題の例) 書いてあります。そこにも入れてありますが、『多次元 Newton 法の例』 (PDF), (HTML)
数値積分については、卒研で取り上げたことはありません。
代わりに『応用解析IV』の講義ノート (ただし内輪向け) (PDF) (HTML),
『IEEE754 倍精度フォーマット』 (PDF), (DVI), (HTML), (プログラム他一式)
『IEEE754 における丸めモードの制御』 (PDF), (DVI), (HTML)
『計算機における数の表現』 (PDF), (DVI), (HTML) (ちょっと古くて不本意だけど)
『疑似乱数についてのメモ』 (PDF), (DVI), (HTML)
『Fourier級数の収束の様子』 (公開版PDF), (内輪版PDF), (内輪版HTML)
「フーリエ変換」収束の話抜きのフーリエ解析。
離散フーリエ変換 (DFT) については、ずっと昔 FFTPACK を使ったことがあります。その時のメモとして、
- 『FFT についてのメモ』 (PDF),
- 『FFTPACK (翻訳)』 (PDF)
今だったら大浦拓哉氏によるプログラムを使うのかな、『FFT (高速フーリエ・コサイン・サイン変換) の概略と設計法』から入手できます。
『πノート』 (PDF) (これはパスワードつけてます。その代りに授業の資料から「円周率の計算の歴史(最終版)」 )
『MATLAB ノート』 (HTML), (PDF)
『応用数理実験』ホームページ, 「講義ノート(HTML)」, 「講義ノート(PDF)」
『Bessel関数の数値計算』 (HTML), (PDF)
『振り子の話』 (HTML), (PDF)
『音の取り扱いに関するメモ』 (HTML), (PDF)
『Laplace変換』 (HTML), (PDF) (内輪向けです)
『I君の固有値問題』 (HTML), (PDF) (古い古い記録の発掘)
『微分作用素の固有値問題』 (PDF), (HTML) (内輪向けです。)
『Bernoulli 多項式、Bernoulli 数』 (HTML), (PDF) (内輪向けです)
『多倍長計算ノート』 (PDF)
『C, C++で複素数』(PDF)
『FreeFEM++ノート』 (HTML), (PDF)
『置換行列に関するメモ』 (PDF), (DVI)
『Python 覚書』 (HTML), (PDF) (2012/12/24〜)
『定数係数線形常微分方程式の解の漸近挙動』 (2022/3/2)

偏微分方程式

偏微分方程式の入門講義「微分方程式2」の講義ノート (PDF) (2014/1/21)
『Laplace 方程式ノート』 (公開版), (内輪向け)
読書ノートの性格が強くなってきたので、内輪向けに移行します。下を見て: 言い訳ばっかだ(笑)
『流体力学の方程式』 (PDF) (雑な出来なので内輪向け)

関数解析のお勉強

　ひさしぶりに手をいれようかな、と考えています (本当にやるかどうか、 50:50ですけど)。とりあえず、しおりをいれました。

『Banach 空間における微積分の基本定理』 (PDF), (HTML)
『Brezis 関数解析の読書ノート』(内輪向け) (PDF), (HTML)
『不等式ノート』 (PDF), (HTML)
『内積空間ノート』 (PDF), (HTML)
『積分・関数空間ノート』 (PDF), (HTML) (かなり雑です。)
『雑題』 (PDF), (HTML)

微積分の講義ノート

論理, 集合, 写像, 同値関係
数学解析極限、連続性など。解析入門。
多変数の微分法 (2011/5/11), 多変数の微分法(新版, 2013/8/28)
多変数の積分法 (2008/11/18)
ベクトル解析 (2008/4/6)
『Laplacian と極座標』 (PDF), (HTML)
『平面曲線』 (PDF), (HTML)

関数論の講義ノート

「複素関数講義ノート」
「応用複素関数講義ノート」 (こちらは凄く粗い)

数学の歴史

『数学の歴史にふれられる文書』 (PDF), (HTML)

　準備中の文書はリクエストに応じてアップロードします (どれくらい加工に時間がかかるかはケースバイケース)。

katurada＠meiji.ac.jp (＠はASCIIの@)

Last modified: Mon Sep 9 14:52:02 2024