0.0.0.3 3.

実はこの問題は、 「有限要素法」という微分方程式の数値計算法の話を考えていて思いついたもの (ここに出て来る原理で、三角形上の積分計算を、 今この瞬間も多くのコンピューターが実行中であることでしょう)。 問題自体は、重積分の変数変換の重要な部分に焦点が当った、 結構良いものになっていると思う (自画自賛)。 それほど数は多くないが、きれいに解けた人がいて嬉しい。

(1)

三角錐の体積と書いてくれた人は存在した (極少数)。 計算で解いても良いことにしたが、2 の (1) と同様に間違える人多数 (こういう人は単位取れない可能性大)。

(2)

どうも「こういうのはカンケーない」と思われているのか、 出来ない人が多かった。それでは線型代数勉強しても、宝の持ち腐れだと思う。

(3)

中学校数学で解こうとした人も多い (せめてベクトルの内積とか高校数学使ってほしい -- 暇があったら、 三つの方法で解き比べて下さい)。 それが出来ることも重要だが、 出題者の意図ではない (それを避けてもらうように、そういう方法を選ぶと、 計算が面倒になるように問題を作った)。 そのやり方で正しく値を求められた人はほぼ皆無。 $\left\vert\det(\Vector{a} \Vector{b})\right\vert/2$ という式の簡潔さを、 しみじみ感じてください。

(4)

脱線する:

$$I_{\ell,m,n} =\dint_D x^\ell y^m (1-x-y)^n\;\DxDy$$

を求めておくと (結果は結構きれい)、 単純な計算で $\Omega$ 上の多項式の重積分が求まる。 $\ell=1$, $m=n=0$ の場合をやってみた、ということです。