1.2.1.0.0.4 ラスト

$\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ は $s$ を一つの下界とする単調減少数列であるから、 収束する。その極限を $x_\infty$ とすると、

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

で $n\to\infty$ として

$$x_{\infty}=x_\infty-\frac{f(x_\infty)} {f'(x_\infty)}.$$

これから $f(x_\infty)=0$. 解の一意性から $s=x_\infty$. すなわち

$$\lim_{n\to\infty}x_n=s.\qed$$