1.2.1.0.0.3 (1.7) の証明

既に示したように $f(x)>0$, $f'(x)>0$ であるから、 $\dfrac{f(x)}{f'(x)}>0$. ゆえに

$$x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)}<x.$$

さらに

$$x'-s =x-\frac{f(x)}{f'(x)}-\left(s-\frac{f(s)}{f'(x)}\right) \because f(s)=0$$

$$=(x-s)-\frac{f(x)-f(s)}{f'(x)}$$

$$=\frac{f'(x)(x-s)-(f(x)-f(s))}{f'(x)}$$

$$=\frac{f(s)-\left[f(x)+f'(x)(s-x)\right]}{f'(x)}.$$

Taylor の定理から $\exists\theta\in(0,1)$ s.t.

$$x'-s=\frac{f''(x+\theta(s-x)) (s-x)^2/2}{f'(x)}>0. \qed$$