2 コマンド等覚え書き

以下の記述のほとんどは最初 Octave で実行して試したので (MATLAB では試していないものがある)、 MATLAB で動くかどうか保証しない。

• 行単位の編集機能、ヒストリー、タブによる補間
• 名前の大文字、小文字は区別する。
• clear 変数名 で変数を消去。 clear variables または clear ですべての変数を消去。
• who とすると使用されている変数名を表示する。
  whos とすると使用されている変数の情報を表示する。
• 変数名 とすると、``変数名= 変数の値'' と表示される。 [変数名] とすると、``ans = 変数の値'' と表示される。 (ans=変数名 と同値ということ？)
• 関数呼び出し or 変数 = 関数呼び出し
  前者の場合 ans という変数に結果が入る。
• 行末に ; をつけると結果は表示されない。
• Octave, Scilab などの互換システムがある。
• 横ベクトル $(1,2,3)$ は [1,2,3] あるいは [1 2 3] で、 縦ベクトル $$\left( \begin{array}{c} 1 2 3 \end{array}\right)$$ は [1; 2; 3] で入力できる (あるいは [1,2,3]' のようにしても得られる)。
• 行列 $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)$$ は

  	[1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]
  

  あるいは

          [1,2,3
           4,5,6
           7,8,9]
  

  で入力できる。
• ones($m$ ,$n$ ) で $m$ 行 $n$ 列の、すべての成分が 1 である行列
• zeros($m$ ,$n$ ) で $m$ 行 $n$ 列の、すべての成分が 0 である行列
• eye($n$ ,$n$ ) で $n$ 次の単位行列⁶
• hilb($n$ ), invhilb($n$ ) は それぞれ $n$ 次の Hilbert 行列, $n$ 次の Hilbert 行列の逆行列を表わす。
• hadamard($n$ ) は $n$ 次の Hadamard 行列。
• rand($m$ ,$n$ ) で一様乱数行列、 randn($m$ ,$n$ ) で正規乱数行列を表わす。
• sylvester_matrix($n$ ) でシルベスター行列を表わす。
• toeplitz(v,n)
• 2:5 で [2 3 4 5], 0:0.2:1 で [0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0] が表せる。
• もっとも、 区間 $[a,b]$ の $N$ 等分点は、 linspace(a,b,N+1) で求めるのがお勧め (結果は横ベクトルになる)。
• ベクトルの成分は、ベクトルの変数名(インデックス) で表わせ る (Fortran 風ですね)。
• +, -, *, / は普通の意味の四則を表わす (数、ベクトル、式に対して使える。)
• A' は行列またはベクトル A のエルミート共役を表す。 単なる転置は A.' で表す。
• 縦ベクトル $x$ , $y$ の内積は

  	x' * y
  

  で求まる。
• 例えば (1:9)'*(1:9) で九九の表が作れる
• det(正方行列) は行列式
• trace() はトレース
• rank(a, tol) はランク
• kron(行列,行列) は Kronecker 積
• 特性多項式は poly(行列) で計算できる (結果は多項式の係数の 作るベクトル)。
• 多項式の積は conv(係数ベクトル, 係数ベクトル) で計算で きる。結果も係数の作るベクトルである。
• inv(行列) は逆行列 (でも滅多なことでは使わないこと！)
• 行列については B / A は ${\tt B} {\tt A}^{-1}$ , A \ B は ${\tt A}^{-1} {\tt B}$ を表す。 特に連立$1$ 次方程式 ${\tt A}x={\tt b}$ の解 $x={\tt A}^{-1}{\tt b}$ は A \ b で計算できる。
• LU 分解するには lu() を用いる。 行交換なしの LU 分解 ($A=L U$ ) と、それを用いた連立１次方程式 $A x=b$ の解法は

          [L,U]=lu(A);
          x=U\(L\b));
  

  でOK. 行交換ありの LU 分解 ($P A=L U$ あるいは $A=P L U$ ) を用いる場合は

          [L,U,P]=lu(A);
          x=U\(L\(P*b));
  

  で OK. あるいは置換を置換行列をかけることで実現するのは不経済なので、 次のような手段も用意されている。

          [L,U,p]=lu(A,'vector');
          x=U\(L\(b(p,:)));
  

• Cholesky 分解をするには chol()

          u=chol(A)
          l=u'
  

  とすると A=l u が成り立つ。
• eig(正方行列) とすると固有値 (を並べた縦ベクトル) が求まる。 [p,d]=eig(正方行列) とすると固有ベクトル (を並べた) 行列 p と、固有値を並べた対角行列 d が得られる。

    A=[1 2 3;4 5 6;8 5 2];
    [P,D]=eig(A);
    inv(P) * A * P
    norm(inv(P) * A * P-D)
  

  (つまり $P^{-1}AP=D$ となることを確認している。)
• eig() は一般化固有値問題 ( $A x=\lambda B x$ ) にも対応している。 また大規模問題向けの eigs() も用意されている (一部の固有値、固有ベクトルを求める)。
• hess() (行列を Hessenberg 形に変換), schur() (行列の Schur 分解), svd() (行列の特異値分解) なども用意されている。
• 行列変数(行始まり:行終り,列始まり:列終り) で部分行列 が得られる (行ベクトル、列ベクトル、ブロック等が取り出せる)。
• 行列の名前(:,$j$ ) とすると第 $j$ 列ベクトル、 行列の名前($i$ ,:) とすると第 $i$ 行ベクトルを表わす。
• 行列を1次元ベクトル化するには v=A(:) のようにする。
• 1次元ベクトルを行列化するには

     A=zeros(m,n);
     A(:)=v;
  

  のように型の決まった行列に代入するか、 reshape() という関数を用いて

     A=reshape(v,m,n);
  

  のようにする。
• diag(ベクトル) とすると、 ベクトルの成分を対角成分に持つ対角行列が求まる。 例えば diag([1 2 3]) とすると、 $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$$ が得られる。 上下にずらすことも出来て、例えば diag([1 2], 1) とすると、 $$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ が得られる (diag(ベクトル, 数) の数が正なら上に、 負なら下にずらす)。

  一方、diag(行列) とすると、 行列の対角線分を取り出したベクトルが得られる。 ゆえに、 diag(diag(行列)) とすると、 行列の対角線分を取り出した対角行列が得られる。

• triu(行列), triu(行列, 数) は上三角部分を取り出す。
• tril(行列),tril(行列, 数) は下三角部分を取り出す。
• [A B] とか [A; B] は行列を並べて大きい行列を作る (それぞれ横に並べた $\begin{pmatrix}A \quad B \end{pmatrix}$ , 縦に並べた $\begin{pmatrix}A \\ B \end{pmatrix}$ が得られる)。
• cond() は条件数を計算する。 rcond() は LINPACK の条件数 (正確には条件数の粗い評価) の逆数を計算する。
• norm(v,p) は $\Vert\cdot\Vert _p$ , norm(v,inf) は $\Vert\cdot\Vert _\infty$
  $$\left\Vert\Vector{x}\right\Vert _p =\left(\sum_{j=1}^n\left\vert... ...rt\Vector{x}\right\Vert _\infty =\max_{1\le j\le n}\left\vert x_j\right\vert.$$

• norm(x) は norm(x,2) に等しい。
• norm(x,'fro') は Frobenius ノルム。
• lookfor は Octave にはない。
• roots(係数を表すベクトル) で多項式の根
  例えば roots([1,0,0,-1]) で $x^3-1$ の根を並べたベクトル が得られる。
• sum(ベクトル) で成分の和、prod(ベクトル) で成分の積、 mean(ベクトル) で成分の平均値、median(ベクトル) で中央値、 max(ベクトル) で成分の最大値、min(ベクトル) で成分の最小値、 var(ベクトル) で分散 (ただし要素数 ÷ $(n-1)$ で計算するやつ)、 cov(ベクトル) で共分散行列、 std(ベクトル) で標準偏差 (分散の正の平方根)、 length(ベクトル) でベクトルとしての次元 (列としての長さ)、
• いわゆる特殊関数も揃っている。
• plot(ベクトル), closeplot
• 制御構文には以下のようなものがある。 慣れている人には説明不要であろう。

  while

    while 条件式
      文1
      文2
      ...
      文n
    end
  

  for

    for i=1:n
     文1
     ...
     文n
    end
  

  if

    if 条件式
      文1
      ..
      文n
    else
      文'1
      ...
      文'n
    end
  

  if, elseif

    if 条件式1
      文
    elseif 条件式2
      文
    end
  

• for 変数=初期値:終了値 または for 変数=初期値:増分:終了値
• break はループを抜け出す
• 「かつ」は &, 「または」 は |, 「等しくない」は ~= または != で表わす。 つまり否定は ~ または ! ということだろうな。
• キーボード入力

  	変数名 = input('何か入力して下さい')
  

• pause(秒数) で時間待ちをする。 pause でキーボードに触れるまで待つ。
• 演算子の前に . をつけると成分ごとという意味？ c=[1 2 3] に対して c*c は型がおかしいから計算できない。 c .* c とすると [1 4 9]
• 変数名=値
  ベクトルの場合は [変数名1,変数名2]=値 や [変数名1 変数名2]=値 のようなことができる。
• $1$ 変数関数のグラフを描くには、ベクトルを2本用意する。

  	% y=x^2 のグラフ
  	x=0:0.1:10;
  	y=x.^2;
  	plot(x,y)
  

  ($[0,10]$ を $100$ 等分と考えて、 x=linspace(0,10,100+1); とする方が良い？)

  	% y=sin(x) のグラフ
  	x=0:0.1:10;
  	y=sin(x);
  	plot(x,y)
  

• 古い Octave では gnuplot を使ってグラフ描画しているので、
  gset term postscript; gset output "foo.ps"; replot
  のような gnuplot 風のコマンドが使えたが、最近の Octave ではもう出来ない。 Octave 拡張は使わない方が良いだろう。
• contour(z,等高線のレベル数,x,y)

    n=200; x=-1:2/n:1; y=x; z=x'*y;
    contour(z)                 お手軽に等高線を描く
    contour(z,20)              20本の等高線を描く
    contour(x,y,z,20)          x,yをちゃんと指定して、20本の等高線
  

  あるいは

    [x,y]=meshgrid(-1:0.01:1, -1:0.01:1);
    z=x.*y;
    contour(x,y,z);
  

  等高線のレベルを指定するには、1次元配列を与えれば良い。 レベル h の等高線を1本だけ描きたいときは [h h] とする ([h] とすると、h 本の等高線を描いてしまう)。

    contour(x,y,z,-1:0.1:1)    等高線のレベルを指定
    contour(x,y,z,[0.5 0.5])   レベル 0 の等高線
  

• mesh(x,y,z) は3次元グラフ (いわゆる鳥瞰図)
• i, I, j, J は虚数単位、pi は円周率、 e は自然対数の底 (Napier の数)、 inf は無限大、eps は計算機イプシロン
• $3+5i$ は 3+5i で表せる。5 と i の間に空白を置いては いけない。
• real(), imag(), conj(), arg(), angle() などが使える。
• eval(式) は式の評価

          t='1/(i+j-1)'
          for i=1:n
            for j=1:n
              a(i,j)=eval(t);
            end
          end
  

• 画面出力の精度は
  

  format long
  format short
  format long e	長い桁数、指数形式
  format short e	短い桁数、指数形式

• 数値積分は quad('関数名',初期値,終端値) などが用意されている。
• save -ascii ファイル名 変数名1 変数名2, save -ascii -double ファイル名 変数名1 変数名2, save -binary ファイル名 変数名1 変数名2, save -mat-binary ファイル名 変数名1 変数名2

(準備中: disp(), fprintf())