2.11 直交射影作用素

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(1)

$x_1\in\R^n$ , $x_2\in\R^n$ $\lambda_1\in\R$ , $\lambda_2\in\R$ と する。$P x_1=y_1$ , $P x_2=y_2$ と置こう。仮定から $y_1,y_2\in V$ かつ $x_1-y_1\in V^\perp$ , $x_2-y_2\in V^\perp$ . このとき、 $\lambda_1y_1+\lambda_2y_2\in V$ かつ

$$(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)-(\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2) =\lambda_1(x_1-y_1)+\lambda_2(x_2-y_2) \in V^\perp.$$

ゆえに

$$P(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)=\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2 =\lambda_1 P x_1+\lambda_2 P x_2.$$

(2)

$x\in\R^n$ とするとき、$P x=y$ と置こう。$y\in V$ , $x-y\in V^\perp$ で ある。明らかに $y\in V$ , $y-y=0\in V^\perp$ であるから、$P y=y$ . すなわ ち $P^2 x=P x$ . ゆえに $P^2=P$ .

(3)

$V$ の正規直交基底 $v_1$ , $\cdots$ , $v_m$ を取ると

$$(P x,y)=\left(\sum_{j=1}^m (x,v_j)v_j,y\right) =\sum_{j=1}^m (x,v_j)(v_j,y),$$

$$(x,Py)=\left(x,\sum_{j=1}^m (y,v_j)v_j\right) =\sum_{j=1}^m (y,v_j)(x,v_j).$$

ゆえに $(Px,y)=(x,Py)$ . これは $P^T=P$ を意味する。 $\qedsymbol$

実は $P^2=P$ , $P^T=P$ という条件を満たす $P$ は適当な線型部分空間 $V$ への直交射影作用素になる。

$V=\ker(I-P)$ は明らかに $\R^n$ の線型部分空間である。 $x\in\R^n$ に対して $P x=y$ とおく。 仮定 $P^2=P$ より、 $P y=P(Px)=(P P)x=P^2 x=P x=y$ であるから、$V$ の定義によって $y\in V$ . また $\forall v\in V$ に対して $P v=v$ に注意すると

$$(x-y,v)=(x,v)-(y,v)=(x,v)-(Px,v)=(x,v)-(x,Pv)=(x,v)-(x,v)=0.$$

すなわち $x-y\in V^\perp$ . ゆえに $y$ は $x$ の $V$ への直交射影である。 $\qedsymbol$

これから単に $P^2=P$ , $P^T=P$ を満たす $P\in\R^{n\times n}$ のことを 直交射影作用素と言っても良いであろう。対応する線型部分空間 $V$ は $\ker (I-P)$ と書けることが分かったが、後のためにもう少し調べておこう。

まず

$$\ker (I-P)=\{x\in\R^n; (I-P)x=0\} =\{x\in\R^n; Px=x\}.$$

明らかに

$$\{x\in\R^n; Px=x\}\subset {\rm image\;}P$$

であるが、$P^2=P$ より $\{x\in\R^n; Px=x\}\supset {\rm image\;}P$ も分か る。実際 $y\in {\rm image\;}P$ とすると、 $\exists x\in\R^n$ s.t. $P x=y$ となるが、 $P y=P (P x)=P^2 x=P x=y$ であるから $y\in \{x\in\R^n; P x=x\}$ . $\qedsymbol$

(1)

$Q$ が巾等かつ対称であることは簡単な計算で分かる。

$$Q^2=(I-P)^2=I^2-IP-PI+P^2=I-2P+P^2=I-2P+P=I-P=Q,$$

$$Q^T=(I-P)^T=I^T-P^T=I-P=Q.$$

(2)

$I=P+(I-P)=P+Q$ であるから、任意の $x\in\R^n$ に対して

$$x=Px+Qx\in {\rm image\;}P+{\rm image\;}Q.$$

ゆえに $\R^n\subset{\rm image\;}P+{\rm image\;}Q$ . もちろんこれは 等号になる。

(3)

$x$ , $y\in\R^n$ とするとき、

$$(Px,Qy)=(x,P Qy)=(x,P(I-P)y)=(x,Py-P^2y)=(x,Py-Py)=(x,0)=0$$

であるから、

$${\rm image\;}P\perp{\rm image\;}Q.$$

(4)

$x=y+z$ , $y\in {\rm image\;}P$ , $z\in{\rm image\;}Q$ としよう。 $y\in {\rm image\;}P$ より $P y=y$ . $z\in{\rm image\;}Q=\ker(I-Q)=\ker P$ より $Pz=0$ . ゆえに $Px=Py+Pz=y+0=y$ . 同様にして $Qx=Qy+Qz=0+z=z$ . $\qedsymbol$