2.10 正規直交基底の応用 (2) -- 線型部分空間の直交

懸案の問題を片付けよう。

$\R^n$ の基底 $u_1$ , $\cdots$ , $u_n$ を、最初の $m$ 個 $u_1$ , $\cdots$ , $u_m$ が $V$ の基底になるように取る。 これに Gram-Schmidt の正規直交化を施して、 正規直交基底 $v_1$ , $\cdots$ , $v_n$ を作ると、 ${\rm Span}(v_1,\cdots,v_m) ={\rm Span}(u_1,\cdots,u_m)=V$ であるから、$v_1$ , $\cdots$ , $v_m$ は $V$ の正規直交基底になる。このとき実は

$$V^\perp={\rm Span}(v_{m+1},\cdots,v_{n})$$

となることはほぼ明らかである。実際、任意の $x\in\R^n$ は

$$x=\sum_{j=1}^n (x,v_j)v_j$$

と展開できるが、

$$x\in V^\perp\quad\Iff\quad (x,v_j)=0$$   $$\mbox{($j=1,2,\cdots,m$)}$$

であるので、 $x\in V^\perp$ ならば $x\in {\rm Span}(v_{m+1},\cdots,v_n)$ . つまり $V^\perp\subset {\rm Span}(v_{m+1},\cdots,v_n)$ . 逆の $V^\perp\supset {\rm Span}(v_{m+1},\cdots,v_n)$ も簡単。$\qedsymbol$

これで懸案だった

$$\mbox{$V$ が線型部分空間} \quad\Iff\quad (V^\perp)^\perp=V$$ (2.4)

の証明が完結する。妙にてこずったように思われるかもしれないが、 実は無限次元の内積空間の場合には、 (5.3) は一般には成り立たない事実なのである。