2.9 直交直和

$V_1$ , $V_2$ を $\R^n$ の線型部分空間で、互いに直交する ( $V_1\perp V_2$ ) ものとする。このとき

$$V_1+V_2=\{v_1+v_2; v_1\in V_1, v_2\in V_2\}$$

のことを $V_1\oplus V_2$ と書き、$V_1$ と $V_2$ の (直交) 直和と呼ぶ。

$V_1\oplus V_2$ はいわゆる直和になっている。すなわち、 $\forall x\in V_1\oplus V_2$ は

$$x=v_1+v_2$$   $$\mbox{($v_1\in V_1$, $v_2\in V_2$)}$$

と書けるが、この $v_1$ , $v_2$ は一意的に定まる。

$$x=v_1'+v_2'$$   $$\mbox{($v_1'\in V_1$, $v_2'\in V_2$)}$$

と書けたとすると、

$$v_1-v_1'=v_2'-v_2$$

であるが、左辺は $V_1$ , 右辺は $V_2$ に属するので、 結局は $V_1\cap V_2$ に属することになり、 $V_1$ と $V_2$ の直交性よりそれは 0 に他ならない:

$$v_1-v_1'=v_2'-v_2=0.$$

ゆえに $v_1=v_1'$ , $v_2=v_2'$ . $\qedsymbol$