2.8 正規直交基底の応用 (1) -- 線型部分空間への直交射影 (2)

正規直交基底を用いて正射影の存在を証明しよう。 つまり解きかけだった例題 2 を解決することになる。

$V$ の任意の正規直交基底 $v_1$ , $\cdots$ , $v_m$ を一つ取る。 $x\in\R^n$ の $V$ への正射影 $y$ が存在したとすると、それは $v_i$ の線型結合で書けるはずである:

$$\exists \lambda_1,\cdots,\lambda_m\in\R \quad y=\sum_{j=1}^m \lambda_j v_j.$$ (2.3)

一方、直交性の条件 $(x-y)\perp V$ も、$\{v_i\}$ を用いて

$$(x-y,v_i)=0$$   $$\mbox{($i=1,2,\cdots,m$)}$$

と表わせる。これは

$$(x,v_i)=(y,v_i)$$   $$\mbox{($i=1,2,\cdots,m$)}$$

ということだが、(2.3) から

$$(y,v_i)=\left(\sum_{j=1}^m\lambda_j v_j,v_i\right) =\sum_{j=1}^m \lambda_j(v_j,v_i) =\sum_{j=1}^m \lambda_j\delta_{ji} =\lambda_i$$

であるから

$$\lambda_i=(x,v_i)$$   $$\mbox{($i=1,2,\cdots,m$)}$$

と同値である。よって、

$$y=\sum_{j=1}^m (x,v_j)v_j$$

が求める直交射影である。$\qedsymbol$

$x$ の $V$ への正射影を $y$ とするとき、$z=x-y$ とおくと、

$$x=y+z, \quad y\in V,\quad z\in V^\perp$$

が成り立つ。このような分解は一意的である。すなわち

$$x=y'+z',\quad y'\in V,\quad z'\in V^\perp$$

とすると

$$y=y'$$   and$$\quad z=z'.$$

実際 $y+z=y'+z'$ より

$$y-y'=z'-z$$

でこれは $V\cap V^\perp=\{0\}$ に属するので 0 だから。 この事実を

$$\R^n=V\oplus V^\perp$$

と表わす (もう少していねいに！)。