8.4 Jacobi楕円関数のグラフ

任意の $k\in[0,1]$ に対して、 $\mathrm{sn}(\cdot;k)\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は奇関数、 $\mathrm{cn}(\cdot;k)\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ と $\mathrm{dn}(\cdot;k) \colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は偶関数である。 いずれも周期 $4K(k)$ の周期関数である ($2K(k)$ は周期ではない)。

$[-2K(k),2K(k)]$ の範囲でグラフを描いてみよう。

boost には、

• $\mathrm{sn}(u;k)$ を計算する jacobi_sn(k,u)
• $\mathrm{cn}(u;k)$ を計算する jacobi_cn(k,u)
• $\mathrm{dn}(u;k)$ を計算する jacobi_dn(k,u)

が用意されている。

Math/Special Functions の Jacobi Elliptic Functions

testjacobi.cpp

/*
 * testjacobi.cpp --- 与えられた k に対し sn(u;k), cn(u;k) (-K≦x≦K)の値を計算
 *                    dn(x;k) もやらないと。
 *   g++ -I/opt/local/include testjacobi.cpp
 */

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

#include <boost/math/special_functions.hpp>

int main(int argc, char **argv)
{
  int i, n;
  double pi, k, K, du, umin, umax;
  double *u, *y1, *y2, dummy;
  n = 400;
  u = new double [n+1];
  y1 = new double [n+1];
  y2 = new double [n+1];
  pi = 4 * atan(1.0);
  if (argc == 2)
    k = atof(argv[1]);
  else {
    cout << "k="; cin >> k;
  }
  cout << "# k=" << k << endl;
  // 周期の1/4を求める
  K = boost::math::ellint_1(k);
  // [-2K,2K] を400等分
  umin = - 2 * K; umax = 2 * K;
  du = (umax - umin) / n;
  for (i = 0; i <= n; i++) {
    u[i] = umin + i * du;
    // y1[i] = boost::math::jacobi_sn(k, u[i]);
    // y2[i] = boost::math::jacobi_cn(k, u[i]);
    y1[i] = boost::math::jacobi_elliptic(k, u[i], &y2[i], &dummy);
    cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(15)
         << u[i] << " " << y1[i] << " " << y2[i] << endl;
  }
  return 0;
}

$\mathrm{sn}(u;0)=\sin u$, $\mathrm{cn}(u;0)=\cos u$ である。

図 25: $k=0$

図 26: $k=0.1$

図 27: $k=0.2$

図 28: $k=0.3$

図 29: $k=0.4$

図 30: $k=0.5$

図 31: $k=0.6$

図 32: $k=0.7$

図 33: $k=0.8$

図 34: $k=0.9$

図 35: $k=0.99$

図 36: $k=0.999$

図 37: $k=0.9999$