8.5 複素変数への拡張

Abramowitz-Stegun [14] の§16.21に、 $x,y\in\mathbb{R}$ に対して

$$\begin{array}[tb]{llll} \mathrm{s}=\mathrm{sn}(x\vert m), & \ma... ..._1=\mathrm{cn}(y\vert m_1),& \mathrm{d}_1=\mathrm{dn}(y\vert m_1) \end{array}$$

とするとき ($m_1$ は the complementary parameter, つまり $m+m_1=1$)、

$$\mathrm{sn}(x+i y\vert m)=\frac{\mathrm{s}\cdot \mathrm{d}_1+i\;\... ...hrm{s}_1\cdot \mathrm{c}_1}{\mathrm{c}_1^2+m \mathrm{s}^2\cdot \mathrm{s}_1^2},$$

$$\mathrm{cn}(x+i y\vert m)=\frac{\mathrm{c}\cdot \mathrm{c}_1-i\;\... ...hrm{s}_1\cdot \mathrm{d}_1}{\mathrm{c}_1^2+m \mathrm{s}^2\cdot \mathrm{s}_1^2},$$

$$\mathrm{dn}(x+i y\vert m)=\frac{\mathrm{d}\cdot \mathrm{c}_1\cdot... ...mathrm{c}\cdot \mathrm{s}_1}{\mathrm{c}_1^2+m \mathrm{s}^2\cdot \mathrm{s}_1^2}$$

とある。