8.2 不完全楕円積分のグラフ

任意の $k\in[0,1]$ に対して、 $F(\cdot;k)$, $E(\cdot;k)$ は $[-1,1]$ の範囲で奇関数かつ単調増加である。 その範囲でのグラフを描いてみよう。

こういうのどかなことをしているテキストは、なかなかないみたい。

boost には、

• $F(\varphi,k)$
• $E(\varphi,k)$
• $\Pi(n,\varphi,k)$

を計算する関数 ellint_1(), ellint_2(), ellint_3() が用意されている。

Math/Special Functions の Elliptic Integrals

testelliptic.cpp

/*
 * testelliptic.cpp --- 与えられた k に対し F(x;k), E(x;k) (-1≦x≦1)の値を計算
 *   g++ -I/opt/local/include testelliptic.cpp
 */

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

#include <boost/math/special_functions/ellint_1.hpp>
#include <boost/math/special_functions/ellint_2.hpp>

int main(int argc, char **argv)
{
  int i, n;
  double pi, k, dx, xmin, xmax;
  double *x, *y1, *y2;
  n = 100;
  x = new double [n+1];
  y1 = new double [n+1];
  y2 = new double [n+1];
  pi = 4 * atan(1.0);
  if (argc == 2)
    k = atof(argv[1]);
  else {
    cout << "k="; cin >> k;
  }
  cout << "# k=" << k << endl;
  // [-1,1] を100等分
  xmin = - 1.0; xmax = 1.0; n = 100;
  dx = (xmax - xmin) / n;
  for (i = 0; i <= n; i++) {
    x[i] = xmin + i * dx;
    y1[i] = boost::math::ellint_1(k, asin(x[i]));
    y2[i] = boost::math::ellint_2(k, asin(x[i]));
    //  cout << setiosflags(ios::scientific) << setprecision(8) << x[i] << " " << y1[i] << " " << y2[i] << endl;
    cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(4) << x[i] << " "
         << setprecision(15) << y1[i] << " " << y2[i] << endl;
  }
  return 0;
}

図 10: $k=0$

図 11: $k=0.1$

図 12: $k=0.2$

図 13: $k=0.3$

図 14: $k=0.4$

図 15: $k=0.5$

図 16: $k=0.6$

図 17: $k=0.7$

図 18: $k=0.8$

図 19: $k=0.9$

図 20: $k=0.99$

図 21: $k=0.999$

図 22: $k=0.9999$

図 23: $k=1$

参考: Mathmaticaならば

Manipulate[
  Plot[{EllipticF[ArcSin[x], k^2], EllipticE[ArcSin[x], k^2]},
   {x, -1, 1}, PlotRange -> {-3, 3}, AspectRatio -> 1],
  {k, 0.0, 0.999, 0.001}]