4.2 不完全楕円積分の計算

(工事中)

$F(x;k)=F(\sin\varphi;k)$, $E(x;k)=E(\sin\varphi;k)$ を計算するには、 descending Landen 変換を用いる。

(http://math-lab.main.jp/daen.htmlにある記事が参考になるかも。)

$\alpha_n$, $\alpha_{n+1}\in(0,\pi/2)$ が

$$(1+\sin\alpha_{n+1}) (1+\cos\alpha_{n})=2,\quad \alpha_{n+1}<\alpha_n$$

を満たし、また $\varphi_n$, $\varphi_{n+1}\in(0,\pi/2)$ が

$$\tan(\varphi_{n+1}-\varphi_n)=\cos\alpha_n\tan\varphi_n, \quad \varphi_{n+1}>\varphi_n$$

を満たすとする。

modular angle $\alpha$ は小さくなり 0 に収束する。

$$F(x;0)=\arcsin x=\varphi$$

であるから、。。。。