4.1 完全楕円積分の計算

$k':=\sqrt{1-k^2}$ とおく。

算術幾何平均アルゴリズム

$$a_0=1,\quad b_0=k',\quad c_0=k,$$ (19)

$$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},\quad b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}},\quad c_n=\frac{a_{n-1}-b_{n-1}}{2} n\in\mathbb{N}$$ (20)

により数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ を求める。

よく知られているように、$a_0>b_0$ とするとき、 (21) で定めた数列は、

$$a_0>a_1>\cdots >a_n>b_n>\cdots>b_1>b_0$$

を満たし、 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ は共通の極限 $\mathrm{AGM}(a_0,b_0)$ に (非常に速く) 収束する。 ( $c_{n+1}=\left\vert a_n-b_n\right\vert/2$ であり、$c_n$ は誤差の目安として使える。)

$a_0=1$, $b_0=k'$ としたので、 $\mathrm{AGM}(a_0,b_0)=\mathrm{AGM}(1,k')$ である。 実は

$$K(k)=\frac{\pi}{2\mathrm{AGM}(1,k')} =\frac{\pi}{2\dsp\lim_{n\to\infty}a_n},$$ (21)

$$\frac{K(k)-E(k)}{K(k)} =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty 2^nc_n^2$$ (22)

であるので (参考文献は？)、これを用いて、 第1種完全楕円積分$K(k)$, $E(k)$ が計算出来る。