3.4 $\mathbb{R}$ 全体への拡張

次の項で $\mathbb{C}$ 上の有理型関数として議論する。 解析的なので、実軸上の区間 $(0,1)$ で定義できていれば、 もう「決まっている」ものであるが、「どうなっているか」はそれとは別の話。

$\sn(u;k)$ は $-K(k)\le u\le K(k)$ で定義されているが、 $u=\pm K(k)$ で “偶函数的に” 折り返して (つまり直線 $u=\pm K(k)$ に関してグラフが対称になるように折り返して)、 $-2K(k)\le u\le 2K(k)$ まで拡張する。その後は周期的に拡張する。 周期 $4K(k)$ の関数になる。 ($k=0$ の場合は、$\sin u$ ( $-\pi/2\le u\le \pi/2$) があり、 それを折り返して $\sin u$ ( $-\pi\le u\le \pi$) が得られ…となる。)

$\cn(u;k)$ は $-K(k)\le u\le K(k)$ で定義されているが、 $u=\pm K(k)$ で “奇函数的に” 折り返して (つまり点 $(\pm K(k),0)$ に関してグラフが対称になるように折り返して)、 $-2K(k)\le u\le 2K(k)$ まで拡張する。その後は周期的に拡張する。 周期 $4K(k)$ の関数になる。 ($k=0$ の場合は、$\cos u$ ( $-\pi/2\le u\le \pi/2$) があり、 それを折り返して $\cos u$ ( $-\pi\le u\le \pi$) が得られ…となる。)

$\dn(u;k)$ は $-K(k)\le u\le K(k)$ で定義されているが、 $u=\pm K(k)$ で “偶函数的に” 折り返して $-2K(k)\le u\le 2K(k)$ まで拡張する。その後は周期的に拡張する。周期 $2K(k)$ の関数になる。