3.4 $ \mathbb{R}$ 全体への拡張

次の項で $ \mathbb{C}$ 上の有理型関数として議論する。 解析的なので、実軸上の区間 $ (0,1)$ で定義できていれば、 もう「決まっている」ものであるが、「どうなっているか」はそれとは別の話。

$ \sn(u;k)$ $ -K(k)\le u\le K(k)$ で定義されているが、 $ u=\pm K(k)$ で “偶函数的に” 折り返して (つまり直線 $ u=\pm K(k)$ に関してグラフが対称になるように折り返して)、 $ -2K(k)\le u\le 2K(k)$ まで拡張する。その後は周期的に拡張する。 周期 $ 4K(k)$ の関数になる。 ($ k=0$ の場合は、$ \sin u$ ( $ -\pi/2\le u\le \pi/2$) があり、 それを折り返して $ \sin u$ ( $ -\pi\le u\le \pi$) が得られ…となる。)

$ \cn(u;k)$ $ -K(k)\le u\le K(k)$ で定義されているが、 $ u=\pm K(k)$ で “奇函数的に” 折り返して (つまり点 $ (\pm K(k),0)$ に関してグラフが対称になるように折り返して)、 $ -2K(k)\le u\le 2K(k)$ まで拡張する。その後は周期的に拡張する。 周期 $ 4K(k)$ の関数になる。 ($ k=0$ の場合は、$ \cos u$ ( $ -\pi/2\le u\le \pi/2$) があり、 それを折り返して $ \cos u$ ( $ -\pi\le u\le \pi$) が得られ…となる。)

$ \dn(u;k)$ $ -K(k)\le u\le K(k)$ で定義されているが、 $ u=\pm K(k)$ で “偶函数的に” 折り返して $ -2K(k)\le u\le 2K(k)$ まで拡張する。その後は周期的に拡張する。周期 $ 2K(k)$ の関数になる。



桂田 祐史