0.0.0.3 解説

「$C^1$ 級の $n$ 次元ベクトル場 $\Vector{f}$ がポテンシャルを 持つかどうかチェックし、 持つ場合はそれを求めよ」という問題には、例えば次の手順で考えるとよい (上の解答もそれに沿っている)。

(1)

条件

$$\frac{\rd f_i}{\rd x_j}=\dfrac{\rd f_j}{\rd x_i} \mbox{($i,j=1,2,\dots,n$)}$$ (☆)

が成り立つか調べる (条件 (☆) は $n=3$ の場合、 $\rot\Vector{f}=\Vector{0}$ と同値である。 また $n=2$ の場合も $\rot\Vector{f}=\dfrac{\rd f_2}{\rd x_1}- \dfrac{\rd f_1}{\rd x_2}=0$ と同値である)。 これが成り立たなければポテンシャルは存在しない。 この条件 (☆) が成り立つならば、次の (2) に進む。

(2)

$\Vector{f}$ の定義域 $\Omega$ が単連結かどうか調べる ¹。 単連結でなければ次の (3) に進む。 単連結であれば、

$$\heartsuit F(\Vector{x}):=\int_{C_{\Vector{x}}}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r} \mbox{($\Vector{x}\in\Omega$)}$$

がポテンシャルとなる。ここで $C_{\Vector{x}}$ は、 $\Omega$ から任意に選んだ定点 $\Vector{a}$ を始点とし、 $\Vector{x}$ を終点とする $\Omega$ 内の区分的 $C^1$ 級曲線である ²。 ていねいにこの線積分を計算し、 念のため $\grad F=\Vector{f}$ が成り立つかどうか検算する。

(3)

((☆) が成り立つが、$\Omega$ は単連結でない場合) ポテンシャルを持たない可能性が高いが、それを確かめるには、

$$\int_{C}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r}\ne 0$$

を満たす $\Omega$ 内の閉曲線 $C$ を見つければよい。 軟弱な問題の場合、そういう閉曲線が設問中にあったりする。 自分で探す場合は、$\Omega$ に空いた「穴」を囲む (ひっかかる) 閉曲線で、 線積分を計算しやすいものを試してみるとよい。 $\qedsymbol$

ARRAY(0xf11f14)