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平均値の定理


\begin{jtheorem}[多変数関数の平均値の定理] $\Omega$\ は $\R^n$\ の開集合、$f\co... ...\},\\ &(a,b):=\left\{(1-t)a+t b; t\in(0,1)\right\}. \end{align*}\end{jtheorem}

\begin{jremark} $n\ge 2$\ のとき、$1$\ 変数の場合に良く登場する式 \begin{displa... ...displaymath}はナンセンスである (ベクトル $b-a$\ で割れない)。 \qed \end{jremark}

Proof. $ h:=b-a$, $ F(t):=f(a+t h)$ ($ t\in\R$) とおくと、

$\displaystyle f(b)-f(a)=F(1)-F(0),\quad F'(t)=f'(a+t h)h. $

1変数関数の平均値の定理から、

$\displaystyle \exists\theta\in(0,1)$   s.t.$\displaystyle \quad F(1)-F(0)=F'(\theta)\cdot 1. $

ゆえに

$\displaystyle f(b)-f(a)=f'(a+\theta h)h. $

$ c:=a+\theta h$ とおくと、$ c\in(a,b)$ で、 $ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$. $ \qedsymbol$ ARRAY(0xf5b6a0) $ \qedsymbol$

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Masashi Katsurada
平成23年6月21日