高階の導関数 (いんとろ)

要するに偏導関数を計算すれば良いので、 既に述べたことと積の微分法くらいで計算はどんどん出来る。

試しに1変数では、

$$\frac{\D z}{\D x}=\frac{\D z}{\D y}\frac{\D y}{\D x}$$

より

$$\frac{\D^2 z}{\D x^2} =\frac{\D}{\D x}\left(\frac{\D z}{\D y}\frac{\D y}{\D x}\right) =... ...rac{\D y}{\D x} +\frac{\D z}{\D y}\left(\frac{\D}{\D x}\frac{\D y}{\D x}\right)$$

$$=\frac{\D^2 z}{\D y^2}\frac{\D y}{\Dx}\cdot\frac{\D y}{\D x} +\fr... ...\D y^2}\left(\frac{\D y}{\Dx}\right)^2 +\frac{\D z}{\D y}\frac{\D^2 y}{\D x^2}.$$

偏微分方程式論からの有名な例を2つ紹介する。 変数変換 (独立変数の変換は、要するに合成関数である！) をして 「見方を変える」 ことが重要なテクニックである。 具体的に分からない関数 (なにしろ未知関数だから！) の合成関数の、 高階の偏導関数の計算が必要になるのは仕方がない。

(1) の証明。chain rule と積の微分法により、

$$g_r =f_x x_r+f_y y_r,$$

$$g_{rr} =(f_{xx}x_r+f_{xy}y_r)x_r+f_x x_{rr} +(f_{yx}x_r+f_{yy}y_r)y_r+f_y y_{rr}$$

$$=f_{xx}x_r^2+2f_{xy}x_ry_r+f_{yy}y_r^2+f_x x_{rr}+f_y y_{rr},$$

$$g_{\theta\theta} =f_{xx}x_\theta^2+2f_{xy}x_\theta y_\theta+f_{yy}y_\theta^2 +f_x x_{\theta\theta}+f_y y_{\theta\theta}.$$

$x_r=\cos\theta$, $y_r=\sin\theta$, $x_{rr}=0$, $y_{rr}=0$, $x_\theta=-r\sin\theta$, $y_\theta=r\cos\theta$, $x_{\theta\theta}=-r\cos\theta$, $y_{\theta\theta}=-r\sin\theta$ である から、

$$g_{rr} =f_{xx}\cos^2\theta+2f_{xy}\cos\theta\sin\theta+f_{yy}\sin^2\theta,$$

$$\frac{1}{r}g_r =\frac{f_x\cos\theta}{r}+\frac{f_y\sin\theta}{r},$$

$$\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =\frac{1}{r^2}\left(f_{xx}r^2\cos^2\theta -2f_{xy}r^2\sin\theta\cos\theta+f_{yy}r^2\cos^2\theta -f_xr\cos\theta-f_y r\sin\theta \right)$$

$$=f_{xx}\cos^2\theta-f_{xy}\cos\theta\sin\theta+f_{yy}\sin^2\theta -\frac{f_x\cos\theta}{r}-\frac{f_y\sin\theta}{r}.$$

ゆえに

$$g_{rr}+\frac{1}{r}g_r+\frac{1}{r^2}g_{\theta\theta}=f_{xx}+f_{yy}.$$

応用上は、 $\Laplacian f=f_{xx}+f_{yy}$ が先にあって、 これを $g$ とその偏導関数で表したいので、以下のようなのが良いかも。 まず $x$, $y$ についての1階偏導関数

$$f_x=g_r r_x+g_\theta\theta_x =g_r\cos\theta-g_\theta\frac{\sin\theta}{r},$$

$$f_y=g_r r_y+g_\theta \theta_y =g_r \sin\theta+g_\theta\frac{\cos\theta}{r}$$

から、

$$\frac{\rd}{\rd x}=\cos\theta\frac{\rd}{\rd r} -\frac{\sin\theta}{... ...\rd y}=\sin\theta\frac{\rd}{\rd r} +\frac{\cos\theta}{r}\frac{\rd}{\rd\theta}.$$

$$f_{xx} =\frac{\rd}{\rd x}f_x =\left(\cos\theta\frac{\rd}{\rd r} -\frac{\... ...d}{\rd\theta} \right) \left( g_r\cos\theta-g_\theta\frac{\sin\theta}{r} \right)$$

$$=\cos\theta\frac{\rd}{\rd r} \left( g_r\cos\theta-g_\theta\frac{\... ...\frac{\rd}{\rd\theta} \left( g_r\cos\theta-g_\theta\frac{\sin\theta}{r} \right)$$

$$= \cos\theta \left( g_{rr}\cos\theta-g_{\theta r}\frac{\sin\theta... ...eta) -g_{\theta\theta}\frac{\sin\theta}{r}-g_\theta\frac{\cos\theta}{r} \right)$$

$$=g_{rr}\cos^2\theta-\frac{2g_{r\theta}\cos\theta\sin\theta}{r} +\... ...eta}{r^2} +\frac{g_r\sin^2\theta}{r}+\frac{2g_\theta\cos\theta\sin\theta}{r^2},$$

$$f_{yy}= g_{rr}\sin^2\theta+\frac{2g_{r\theta}\cos\theta\sin\theta... ...ta}{r^2} +\frac{g_r\cos^2\theta}{r}-\frac{2g_\theta\cos\theta\sin\theta}{r^2}.$$

ゆえに

$$f_{xx}+f_{yy}=g_{rr}+\frac{1}{r}g_r+\frac{1}{r^2}g_{\theta\theta}.$$