0.0.0.2 解答

(1)

$f(x,y):=x^2-y^2$ は多項式なので、関数 $f\colon\R^2\to\R$ は連続である。 特に $(1,2)$ で連続であるから、

$$\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=f(1,2)=1-4=-3.$$

(2)

$f(x,y):=\dfrac{1-x y}{x^2+y^2}$ は有理式で、 分母が 0 にならない範囲 $\Omega:= \R^2\setminus\{(0,0)\}$ で定義された関数 $f\colon\Omega\to\R$ は連続である。 特に $(0,1)\in\Omega$ で連続であるから、

$$\lim_{(x,y)\to(0,1)}f(x,y)=f(0,1)=1.$$

(3)

有理関数で、$(0,0)$ で分母が 0 になることに注意する。 $f(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}$, $g(z):=\dfrac{1}{z^2}$ とするとき、 $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$, $\dsp\lim_{z\to 0}g(z)=\infty$ であるから、

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{1}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\to (0,0)}g(f(x,y)) =\lim_{z\to 0}g(z) =\infty.$$

(4)

$(x,y)\to(0,0)$ のとき、 分子$=x+y\to 0$, $x^2+y^2\to +0$, 分母$=\log(x^2+y^2)\to -\infty$ であるから、

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{\log(x^2+y^2)}=0.$$

(5)

いわゆる不定形 $\dfrac{\;0\;}{0}$ である。 近づく方向を限定して考えてみると何か分かることがある。 $x$ 軸に沿って近づけた場合

$$\lim_{y=0\atop (x,y)\to (0,0)}\frac{x-y}{x+y} =\lim_{x\to 0}\frac{x-0}{x+0} =\lim_{x\to 0}1=1.$$

$y$ 軸に沿って近づけた場合

$$\lim_{x=0\atop (x,y)\to (0,0)}\frac{x-y}{x+y} =\lim_{y\to 0}\frac{0-y}{0+y} =\lim_{y\to 0}-1=-1.$$

2つの極限が一致しないので、 $\dsp\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x-y}{x+y}$ は存在しない。

(6)

これも不定形 $\dfrac{\;0\;}{0}$ である。 $x$ 軸に沿って近づけた場合

$$\lim_{y=0\atop (x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} =\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x^2+0^2}} =\lim_{x\to 0}\frac{x}{\vert x\vert}.$$

この極限は存在しない (右極限 $\dsp\lim_{x\to+0}\frac{x}{\vert x\vert}=1$ と 左極限 $\dsp\lim_{x\to-0}\frac{x}{\vert x\vert}=-1$ は一致しない)。 ゆえに $\dsp\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ も存在しない。

(7)

これも不定形 $\dfrac{\;0\;}{0}$ である。 $x$ 軸, $y$ 軸や、$y=kx$ ($k$ は定数) にそっての極限は、 すべて 0 であることが分かる。実際例えば

$$\lim_{y=kx\atop (x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cdot (kx)^2}{x^2+(kx)^2} =\lim_{x\to 0}\frac{k^2x^2}{1+k^2}=0.$$

これから 0 に収束しそうだと見当をつけて証明を考える。

$$\left\vert\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}-0\right\vert =\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} =x^2\frac{y^2}{x^2+y^2} \le x^2\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} =x^2.$$

$(x,y)\to(0,0)$ のとき右辺は0に収束するので (これは極限の定義に戻れば簡単に示せる、 あるいは右辺 $x^2=:r(x,y)$ は $x$ と $y$ の多項式なので、 $r$ は関数として連続であり、 $(x,y)\to(0,0)$ のとき $r(x,y)\to r(0,0)=0^2=0$, としても良い)、 挟み撃ちの原理から

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0.$$

(8)

これも不定形 $\dfrac{\;0\;}{0}$ である。 $f(x,y):=x y$, $g(z):=\dfrac{\sin z}{z}$, $a=(0,0)$, $b=0$, $c=1$ とおくと、

$$\lim_{(x,y)\to a}f(x,y)=b,\quad \lim_{z\to b}g(z)=c$$

であるから、

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin(x y)}{x y} =\lim_{(x,y)\to a} g(f(x,y)) =\lim_{z\to b} g(z)=c=1.$$