0.0.0.2 余談

$\sqrt{ \mbox{2次式}}$ は平方完成して $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{x^2+k}$ の 形にする (どちらのタイプになるかは、$x^2$ の係数の符号で決まる)。

$I=\dsp\int\frac{\Dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\frac{x}{a}$ は、 (i) $x=au$ として $I=\dsp\int\frac{\D u}{\sqrt{1-u^2}}=\sin^{-1}u =\sin^{-1}\dfrac{x}{a}$ とするか¹、 (ii) $x=a\sin\theta$ ( $-\pi/2\le \theta\le\pi/2$) として $I=\dsp\int\D\theta=\theta=\sin^{-1}\frac{x}{a}$ とする。 $\dsp\int\sqrt{a^2-x^2\;}\Dx=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+\sin^{-1} \frac{x}{a}\right)$ は、上と同様に部分積分で導出する。