0.0.0.1.1 解説

$\dsp\int\frac{\Dx}{\sqrt{x^2+k\;}}$ の公式は覚えておいて、 念のため右辺を微分して、 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+k}}$ になることを確めるのが私のお勧め。 問題の $I:=\dsp\int\sqrt{x^2+k\;}\,\Dx$ については、部分積分して、

$$I =\int x\cdot\sqrt{x^2+k\;}\,\Dx =x\sqrt{x^2+k\;}-\int x\cdot\left... ...rt{x^2+k\;}-\int x\cdot\frac{1}{2}\left(x^2+k\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x\,\Dx$$

$$=x\sqrt{x^2+k\;}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+k\;}}\;\Dx =x\sqrt{x^2+k\;}-\int \frac{(x^2+k)-k}{\sqrt{x^2+k\;}}\;\Dx$$

$$=x\sqrt{x^2+k\;}-\int\sqrt{x^2+k\;}\Dx+k\int\frac{\Dx}{\sqrt{x^2+k\;}} =x\sqrt{x^2+k\;}-I+k\int\frac{\Dx}{\sqrt{x^2+k\;}}$$

となるから ( $\dfrac{x^2+k}{\sqrt{x^2+k\;}}=\sqrt{x^2+k\;}$ に注意)、 右辺の $I$ を左辺に移項して $2$ で割って、

$$I=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+k}+k\int\frac{\Dx}{\sqrt{x^2+k}}\ri... ...c{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+k}+k\log\left\vert x+\sqrt{x^2+k\;}\right\vert\right).$$