0.0.0.3 3.

次の積分を求めよ。 (1) $\dsp\int\frac{\Dx}{x^2-6x+13}$     (2) $\dsp\int\frac{\Dx}{\sqrt{-x^2+4x-3\;}\;}$     (3) $\dsp\int\sqrt{x^2+4x\;}\Dx$
(4) $\dsp\int\frac{x^3+2x^1-1}{x(x-1)}\,\Dx$     (5) $\dsp\int\frac{x+2}{x^2(x^2+1)}\,\Dx$

(1) $I=\dsp\int\frac{\Dx}{x^2-6x+13}$ は有理関数の積分なので、 部分分数分解を考えるが、分母は判別式 $D$ が $D/4= (-3)^2-1\cdot 13=9-14=-4<0$ であるから、実係数の範囲では因数分解できない。 平方完成をすることになる。

$$x^2-6x+13=(x-3)^2-9+13=(x-3)^2+4$$

であるから、 $x-3=2u$ とおくと、$\Dx=2\D u$, $x^2-6x+13=(2u)^2+4=4(1+u^2)$ となり、

$$I=\int\frac{2\Du}{4(1+u^2)}=\frac{1}{2}\int\frac{\D u}{1+u^2} =\frac{1}{2}\tan^{-1} u=\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x-3}{2}.$$

(2) $\dsp I=\int\frac{\Dx}{\sqrt{-x^2+4x-3\;}}$ は、 $\sqrt{ \mbox{2次式}}$ があるので、2次式の平方完成をする。

$$-x^2+4x-3=-(x^2-4x)-3=-(x-2)^2+4-3=1-(x-2)^2.$$

$x-2=u$ とおくと、$\Dx=\D u$, $\sqrt{-x^2+4x-3\;}=\sqrt{1-u^2}$ となり、

$$I=\int\frac{\D u}{\sqrt{1-u^2\;}}=\sin^{-1}u=\sin^{-1}(x-2).$$

(3) $I=\dsp\int\sqrt{x^2+4x\;}\Dx$ は、 $\sqrt{ \mbox{2次式}}$ があるので、2次式の平方完成をする。

$$x^2+4x=(x+2)^2-4$$

であるから、$x+2=u$ とおくと、$\Dx=\D u$, $\sqrt{x^2+4x\;}=\sqrt{u^2-4\;}$ となり、

$$I =\int\sqrt{u^2-4\;}\D u =\frac{1}{2}\left(u\sqrt{u^2-4}+(-4)\log\left\vert u+\sqrt{u^2-4}\right\vert\right)$$

$$=\frac{1}{2} \left((x+2)\sqrt{x^2+4x}-4\log\left\vert(x+2)+\sqrt{x^2+4x}\right\vert\right).$$

(4) $I=\dsp\int\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x-1)}\Dx$ は有理関数の積分なので、 部分分数分解を考える。分子の次数が分母の次数よりも高いのでまず割り算から。

$$x^3+2x^2-1=(x^2-x)(x+3)+3x-1$$

となるので、

$$\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x-1)}=x+3+\frac{3x-1}{x(x-1)}.$$

$$\frac{3x-1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}$$

を満たす $A$, $B$ があるはずである。分母を払って $3x-1=A(x-1)+Bx$. これから (例えば $x=1$ や $x=0$ を代入する) $B=2$, $A=1$. ゆえに

$$I=\int\left(x+3+\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}\right)\Dx =\frac{x^2}{2}+3x+\log\vert x\vert+2\log\vert x-1\vert.$$

(5) $I=\dsp\int\frac{x+2}{x^2(x^2+1)}\,\Dx$ は有理関数の積分なので、 部分分数分解を考える。$x^2$ と $x^2+1$ は互いに素なので、

$$\frac{x+2}{x^2(x^2+1)} =\frac{\mbox{分母より次数の低い式}}{x^2} +\frac{\mbox{分母より次数の低い式}}{x^2+1}$$

とできるはずなので、

$$\frac{x+2}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$

を満たす定数があるはずである。分母を払って

$$x+2=Ax(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)x^2=(A+C)x^3+(B+D)x^2+Ax+B.$$

係数を比較して、$B=2$, $A=1$, $D=-B=-2$, $C=-A=-1$. ゆえに

$$I=\int\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{x+2}{x^2+1}\right)\Dx.$$

$$\int\frac{x}{x^2+1}\,\Dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\Dx =\frac{1}{2}\log(x^2+1)$$

に注意すると、

$$I=\log\vert x\vert-\frac{2}{x}-\frac{1}{2}\log(x^2+1)-2\tan^{-1}x.$$