2.1 $f(x)=$多項式$\times e^{\alpha x}$ の特解の求め方

• $f(x)$ が多項式ならば、$u$ は多項式で求まる。 $f(x)$ が $n$ 次式ならば $u$ も $n$ 次式 -- と言いたいが、 これはつねに正しい訳ではない。 次数を $n$ より大きくしないと求まらないことがある。 詳しくは $u=x^m\times$同じ次数の多項式 の形になる ($m$ はある 0 以上の整数)。
  試しに、(i) $y''-3y'+2y=x+1$, (ii) $y''+y'=x+1$, (iii) $y''=x+1$ を解いてみよう。 $u=a x+b$ ($a$, $b$ は未定係数) と置いて代入すると…
• $f(x)$ が $e^{\alpha x}$ ならば、$u$ も $e^{\alpha x}$ の定数倍で求まる -- と言いたいが、 これはつねに正しい訳ではない。 $u=A x^m e^{\alpha x}$ とする必要があるときもある ($m$ はある 0 以上の整数)。
  試しに (iv) $y''-$$3$$y'+2y=e^{-x}$, (v) $y''+3y'+2y=e^{-x}$, (vi) $y''+2y'+y=e^{-x}$ を解いてみよう。 $u=A e^{-x}$ と置いて代入すると…
• 一般に $f(x)=$多項式$\times e^{\alpha x}$ の 特解は $u=x^m\times$同じ次数の多項式$\times e^{\alpha x}$ の形で求まる ($m$ はある 0 以上の整数)。