問題

1.

畳み込みについて、 交換法則 $f\ast g=g\ast f$, 結合法則 $(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$ が成り立つことを証明せよ。 (注意: 後者の証明には重複積分の順序交換が必要である。)

2.

$G$ を $y''+p y'+q y=0$ ($p$, $q$ は定数) の Green 関数とするとき、 $G''+p G'+q G=0$, $G(0)=0$, $G'(0)=1$ が成り立つことを示せ。

3.

Cauchy の補題

$$\int_{a}^t\int_{a}^{t_1}\cdots\int_{a}^{t_{n-1}}f(t_n)\;\D t_{n} \D t_{n-1}\cdots \D t_1 = \int_a^t \frac{(t-s)^{n-1}}{(n-1)!}f(s)\;\D s$$

を証明せよ。