解法2

$\sin^{-1} x=y$, $\cos^{-1} x=z$ とおくと、

$$\sin y=x,\quad y\in[-\pi/2,\pi/2],\quad \cos z=x,\quad z\in[0,\pi].$$

これから

$$\sin y=x=\cos z=\sin(\pi/2-z).$$

$z\in [0,\pi/2]$ より $\pi/2-z\in[-\pi/2,\pi/2]$ で、 $[-\pi/2,\pi/2]$ で $\sin$ は単調増加だから特に一対一なので、 $y=\pi/2-z$ が導かれる。ゆえに

$$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=y+z=\pi/2.$$