解法1

(2) と同様にして $(\cos^{-1}x)'=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ が示せる。

$$\frac{\D}{\D x}\left(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x\right) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}=0$$

となるので、 $\sin^{-1} x+\cos^{-1}x$ は定数であり、

$$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\sin^{-1}0+\cos^{-1}0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

なお、$\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ ともに定義域は $[-1,1]$ で、 実は任意の $x\in [-1,1]$ について成り立つ。