13 余談: 熱方程式、拡散方程式の基本解

$x$ 軸に温度 0 度の針金をおき、時刻 $t=0$ で原点に単位熱量を与えて、 以下針金を熱が伝わっていった場合の、時刻 $t$ における温度分布を表わす 関数は (適当な仮定のもとに)

$$U(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t } }\;e^{-\frac{x^2}{4t}}$$

となり、熱方程式の基本解と呼ばれる。 これは平均 0, 分散 $2t$ の正規分布の確率密度関数に他ならない。