12 二項分布の正規分布近似

正規分布の一つの応用として「二項分布の正規分布近似」がある。

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うならば、 $\{0,1,2,\cdots,n\}$ に含まれる任意の $k$ について

$$P(X=k)={}_n C_{k} p^k (1-p)^{n-k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k (1-p)^{n-k}.$$

この右辺は意味は明解だが、$n$ が大きいとき、計算は結構大変である。

$Y$ を正規分布 $N(m,\sigma^2)$ (ただし $m=n p$, $\sigma^2=n p(1-p)$) に従う確率変数とするとき、次の (1), (2) が成り立つ。

1. $k$ を $0\leqq k\leqq n$ なる整数とするとき、
   $$P(X=k)\kinji P(k-1/2\leqq Y\leqq k+1/2).$$

2. $a$, $b$ を $0\leqq a\leqq n$, $0\leqq b\leqq n$ なる整数とするとき、
   

   $$P(a\leqq X\leqq b) = \sum_{k=a}^b P(X=k)$$

   $$\kinji \sum_{k=a}^b P(k-1/2\leqq Y\leqq k+1/2) =P(a-1/2\leqq Y\leqq b+1/2).$$

   
   

これらの式の右辺は、前節で述べたように標準正規分布表から近似値が計算 できる。実際 $Z=\Dfrac{Y-m}{\sigma}$ とおくと、

$$\alpha\leqq Y\leqq \beta \quad\LongIff\quad \frac{\alpha-m}{\sigma}\leqq Z\leqq \frac{\beta-m}{\sigma}.$$

であり、$Z$ は $N(0,1)$ に従うので (証明は後述)、

$$P(X=k) \kinji P(k-1/2\leqq Y\leqq k+1/2)= P\left(\frac{(k-1/2)-m}{\sigma}\leqq Z\leqq \frac{(k+1/2)-m}{\sigma}\right)$$

$$= \phi\left(\frac{(k+1/2)-m}{\sigma}\right) -\phi\left(\frac{(k-1/2)-m}{\sigma}\right),$$

$$P(a\leqq X\leqq b) \kinji P(a-1/2\leqq Y\leqq b+1/2)= P\left(\frac{(a-1/2)-m}{\sigma}\leqq Z\leqq \frac{(b+1/2)-m}{\sigma}\right)$$

$$= \phi\left(\frac{(b+1/2)-m}{\sigma}\right) -\phi\left(\frac{(a-1/2)-m}{\sigma}\right).$$