7 期待値・分散・標準偏差

離散的確率変数が取り得る値が , $\cdots$ , で、の確率分布が

$\displaystyle P(X=x_k)=p_k$ $\displaystyle \mbox{($k=1,2,\cdots,s$)}$

で与えられているとき

$\displaystyle E(X)\DefEq \sum_{k=1}^s x_k p_k$

で定まる

を確率変数

のきたいち期待値 (expectation) あるいは平均 (mean) と呼ぶ。また、

$\displaystyle V(X)\DefEq \sum_{k=1}^s (x_k-m)^2 p_k, \quad m=E(X)$

で定まる

を確率変数

のぶんさん分散 (variance) と呼ぶ。

分散はつねに 0 以上の値を取る。

$\begin{jtheorem}\upshape \begin{displaymath} V(X)=E(X^2)-E(X)^2. \end{displayma... ...in{displaymath} E(X^2)= \sum_{k=1}^s x_k^2 p_k. \end{displaymath}\end{jtheorem}$

$\begin{jremark}\upshape これはとても有名であるが、コンピュー... ...ひどい場合は分散が負になってしまったりする。 \end{jremark}$

$\begin{jdefinition}[確率変数の標準偏差]\upshape 確率変数 $X$ の�... ...\sqrt{V(X)}=\sqrt{\sum_{k=1}^s (x_k-m)^2p_k}. \end{displaymath}\end{jdefinition}$

$\begin{jremark}\upshape いわゆる偏差値というのは標準偏差を用�... ...�になることも, $100$ 以上になることもある。 \qed \end{jremark}$

$\begin{jtheorem}[チェビシェフ (Cebysev) の不等式]\upshape \index{ち�... ...\vert X-m\vert\ge \lambda\sigma)\le 1/\lambda^2. \end{displaymath}\end{jtheorem}$

平均から離れる確率はあまり大きくなれない、ということを表わしている式である。しかし、この式は理論上活躍することは多いが、実際の問題に直接役立つことはない。

桂田祐史