4 条件付き確率と乗法定理

, を事象とする。が起こったことが分かったが、が起こったかどうか分からないという状況で、の起こりやすさを示す度合 -- 事象のもとでの事象の条件つき確率 -- を導入する。

$\begin{reidai}\upshape 正しいサイコロを振ったところ、出た目�... ...{\sharp\{1,3\}}{\sharp\{1,3,5\}}=\frac{2}{3}. \qed \end{displaymath}\end{reidai}$

上の例題では、

$\displaystyle P_A(B)=\frac{\sharp A\cap B}{\sharp A}$

と計算していることになるわけだが、このように事象に含まれる標本点の個数を数えれば良かったのは、「正しいサイコロ」を振る試行だったからである。一般の場合に通用するためには少し修正する必要がある。実際には

$\displaystyle P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

を条件つき確率

の定義とすればよいであろう (これは証明できることでなく、定義することである)。ただし、これが意味を持つには $P(A)\ne 0$ でなければならない。

$\begin{jremark}\upshape テキストで、しばしば $A\ne \phi$ と書い�... ...$A\ne \phi$ であっても $P(A)=0$ とは限らないから。 \end{jremark}$

$\begin{jremark}\upshape $P(A)=0$ の場合に $P_A(B)$ を定義するには�... ...t\in B$)} \end{array} \right. \end{displaymath}と定義する。 \end{jremark}$

$\begin{jproposition}\upshape $P$ を標本空間 $U$ 上の確率法則とす... ..._A(B\cup C)=P_A(B)+P_A(C)$. \item $P_A(U)=1$. \end{enumerate}\end{jproposition}$

この命題から例えば

$\displaystyle P_{A}(\overline B)=1-P_{A}(B),$

$\displaystyle P_A(B\cup C)=P_A(B)+P_A(C)-P_A(B\cap C)$

などの公式が自動的に得られる。

条件つき確率はと等しくなることも、等しくならないこともある (例題2, 例3)。

$\begin{jdefinition}\upshape 確率空間 $(U, P)$ における $A$, $B$ に�... ...tbf{従属}\index{じゅうぞく@従属}であるという。 \end{jdefinition}$

$\begin{jtheorem}\upshape $A$ と $B$ が独立 $\LongIff$ $P(A\cap B)=P(A) P(B)$. \end{jtheorem}$

Subsections

- - 4.0.0.1 証明

桂田祐史