4.0.0.1 証明

一般に

$$P(A\cap B)=P(A) P_A(B)$$

であるから、

$A$ と $B$ が独立	$\LongIff$	$P_A(B)=P(B)$
	$\LongIff$	$P(A\cap B)=P(A) P(B)$. $\qedsymbol$

Bayes の定理について一言。色々なバージョンがあるが、 ここで述べるとすると、次の形になるだろう。

$$P(A)>0\quad\THEN\quad P_A(B)=\frac{P_B(A)P(B)}{P(A)}.$$

( $P_A(B)P(A)$, $P_B(A)P(B)$ はともに $P(A\cap B)$ に等しいので、 $P_A(B)P(A)=P_B(A)P(B)$. $P(A)$ ($\ne 0$) で両辺を割ればよい。) この定理を使うことに対する批判が根強い、という話と、 この考え方を利用して色々なことができる、という話、 両方を聴いたことがある。