5 $2$ 次元における Laplacian の差分近似

すでに何度も見たように、$\R^2$ における Laplacian の極座標表示

$$\Laplacian u=\frac{\rd^2 u}{\rd r^2}+\frac{1}{r}\frac{\rd u}{\rd r}+ \frac{1}{r^2}\frac{\rd^2 u}{\rd \theta^2}$$

において、$r=0$ で係数に特異性がある。これをどう差分近似するか。

$x_i=i h$, $y_j=j h$ ($i,j\in \Z$) と直角座標系にそって格子を入れた 場合、

$$\Laplacian u(0,0) \kinji \frac{u(h,0)-2u(0,0)+u(-h,0)}{h^2} +\frac{u(0,h)-2u(0,0)+u(0,-h)}{h^2}$$ (4)

$$= \frac{4}{h_r^2} \left[ \frac{u(h,0)+u(-h,0)+u(0,h)+u(0,-h)}{4}-u(0,0) \right].$$

極座標 $(r,\theta)$ の空間を、角度方向に $N_\theta (=4N)$ 等分して、

$$r_i=i h_r, \quad \theta_j=j h_\theta$$   $$\mbox{($i=0,1,2,\cdots$; $j\in\Z$)}$$

(ただし $h_\theta=2\pi/N_\theta=\pi/(2N)$) と格子を入れた場 合、(7) は

$$\Laplacian u(0,0) \kinji \frac{4}{h_r^2} \left[ \frac{u_{1,0}+u_{1,N}+u_{1,2N}+u_{1,3N}}{4}-u(0,0) \right]$$

と書き直すことができる。ところで $\Laplacian$ は直交変換で不変であるこ とを思い出せば、任意の $j$ について

$$\Laplacian u(0,0) \kinji \frac{4}{h_r^2} \left[ \frac{u_{1,j}+u_{1,j+N}+u_{1,j+2N}+u_{1,j+3N}}{4}-u(0,0) \right]$$

これから

$$\Laplacian u(0,0)\kinji \frac{4}{h_r^2}\left(\frac{1}{N_\theta}\sum_{j=0}^{N_\theta-1}u_{1,j} -u(0,0)\right)$$ (5)

という近似公式が得られる。

これは一般次元に拡張できる: $\R^n$ における Laplacian の近似として

$$\Laplacian u(0)\kinji \frac{2\times(\mbox{空間の次元})}{h_r^... ...�おける $u$\ の平均値}) -(\mbox{原点における $u$\ の値})\right].$$ (6)