6 Laplace-Beltrami 作用素と $n$ 次元 Laplacian

$\R^3$ の単位球面 $S=\{(x,y,z)\in\R^3; x^2+y^2+z^2=1\}$ の上で定義さ れたスカラー関数 $w$ が与えられているとする。平面領域上の関数と同様に、 $w$ の勾配 $\grad_S w$ なるものが自然に定義できて、$S$ 上のベクトル場 を形成する。$S$ 上の関数 $v$ で

$$\int_S \psi v \D\sigma=-\int_S \grad_S\psi\cdot\grad_S w \D\sigma$$   $$\mbox{($\psi\in C^1(S)$)}$$

を成り立たせるものが存在するとき、この $v$ を $\Laplacian_S w$ と書く ことにしよう。こうして定義された

$$\Laplacian_S: w\mapsto \Laplacian_S w$$

を球面上の Laplace-Beltrami 作用素と呼ぶ。

同様にして、任意次元の単位球面における Laplace-Beltrami 作用素が定義 できる。

証明. $\R^n$ で定義された滑らかな関数 $\psi$ で、十分大きな球の外側および 原点の近傍上で 0 になるものを任意に取る。部分積分により

$$\int_{\R^n}\psi\Laplacian u \Dx = -\int_{\R^n}\nabla\psi\cdot\na... ...t_0^\infty r^{n-1} \left( \int_S\nabla\psi\cdot\nabla u \D\sigma \right)\D r.$$

以下で見るように

$$\nabla\psi\cdot\nabla u = \frac{\rd\psi}{\rd r} \frac{\rd u}{\rd r} +\frac{1}{r^2}\grad_S\psi\cdot\grad_S u$$

であるから

$$\int_{\R^n}\psi\Laplacian u \Dx = -\int_S \left( \int_0^\infty r^{n-1}\frac{\rd\psi}{\rd r}\frac{\r... ...t_0^\infty r^{n-3} \left( \int_S\grad_S\psi\cdot\grad_S u \D\sigma \right)\D r$$

$$= \int_S \left( \int_0^\infty \psi\frac{\rd}{\rd r} \left(r^{n-1}\f... ...a +\int_0^\infty r^{n-3} \left( \int_S \psi\Laplacian_S u \D\sigma \right)\D r$$

$$= \int_{\R^n}\psi \left[ \frac{1}{r^{n-1}}\frac{\rd}{\rd r} \left(r^{n-1}\frac{\rd u}{\rd r}\right) +\frac{1}{r^2}\Laplacian_S u \right]\Dx.$$

$\psi$ の任意性から

$$\Laplacian u = \frac{1}{r^{n-1}}\frac{\rd}{\rd r} \left(r^{n-1}\frac{\rd u}{\rd r}\right) +\frac{1}{r^2}\Laplacian_S u$$

が得られる。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$n=2$, $3$ の場合に得られている Laplacian の極座標表示から、 Laplace-Beltrami 作用素の公式が得られる。