F..5.1.4 (ii)$\THEN$(iii)の証明:

(ii) が成り立つとする。

$$(\forall t\in I)(\forall\bm{c}\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\}) \sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t)\ne\bm{0}.$$

連続する $\forall$ の順序は交換可能であるから

$$(\forall\bm{c}\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\})(\forall t\in I) \sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t)\ne\bm{0}.$$

$I\ne\emptyset$ であるから

$$(\forall\bm{c}\in\mathbb{K}^n\setminus\{0\})(\exists t_0\in I) \sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t_0)\ne\bm{0}.$$

すなわち (iii) が成り立つ。