F..5.1.3 (iii) $\THEN$ (ii) の証明:

(iii) を仮定すると、 任意の $\bm{c}\in\mathbb{K}^n\setminus\{\bm{0}\}$ に対して $\dsp\sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i\ne\bm{0}$. これは関数としての式(定数関数$\bm{0}$ではない)であるから、 ある $t_0\in I$ が存在して $\dsp\sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t_0)\ne\bm{0}$. 初期値問題の解の一意性から、 任意の $t_1\in I$ に対して $\dsp\sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t_1)\ne \bm{0}$. ゆえに

$$(\forall t\in I)(\forall \bm{c}\in\mathbb{K}^n\setminus\{\bm{0}\}) \sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t)\ne\bm{0}$$

が成り立つ。すなわち (ii) が成り立つ。