3.2.2 Euler(オイラー)法の紹介

微分 $x'(t)=\displaystyle\frac{dx}{dt}$ は差分商 $$\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$$ の $h\to 0$ の極限です。そこで、(1) 式の微分を差分商で置き換えて近似することによって、次の方程式を得ます。

$$\frac{x_{j+1}-x_j}{h}=f(t_j,x_j) \quad (j=0,1,\ldots,N-1)$$

変形すると

$$x_{j+1}=x_j+h f(t_j,x_j).$$ (10)

これを漸化式として使って、$x_0$ から順に $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_N$ が計算出来ます。この方法を rubyオイラーEuler 法と呼びま す。

こうして得られる $N+1$ 個の点 $(t_j,x_j)$ を順に結んで得られる折れ線 関数は（$f$ に関する適当な仮定のもとで） $N\to+\infty$ の時 （$h=(b-a)/N$ について言えば $h\to 0$）、真の解 $x(t)$ に収束すること が証明できます¹⁰。ここでは簡単な例で収束を確か めてみましょう。