3.1.1 常微分方程式って何だったっけ -- 復習

常微分方程式というのは大雑把に言うと、「一つの実独 立変数 $t$ の未知関数 $x=x(t)$ を求めるための問題で、$x$ とその導関数 $\dsp\frac{dx}{dt}$, $\dsp\frac{d^2x}{dt^2}$, $\cdots$, $\dsp\frac{d^kx}{dt^k}$ についての方程式になっているもの」のことです。 (以下では $\dsp\frac{dx}{dt}=x'$, $\dsp\frac{d^2x}{dt^2}=x''$, $\dsp\frac{d^3x}{dt^3}=x^{(3)}$, $\cdots$ のような書き方もします。)

(例1)

$x'(t) = f(t)$ ($f$ は既知関数)

(例2)

$x''(t) = -g$ ($g$ は既知の定数)

(例3)

$x'(t) = ax(t)$ ($a$ は既知の定数)

(例4)

$x''(t) = -\omega^2x(t)$ ($\omega$ は既知の定数)

(例5)

$x''(t) + 2\gamma x(t) +\omega^2x(t)=0$ ( $\gamma, \omega$ は既知の定数)

ここに例としてあげた方程式はいずれも割とポピュラーなものなのですが、 見覚えがあるでしょうか？どの場合もこれらの方程式だけでは解が一つに定ま らず、何らかの条件を付け足すことによって初めて解が決定されます。その条 件として、ある特定の $t$ の値 $t_0$ に対する $x$ の値 $x(t_0)$ や導関 数の値を指定するというタイプのものがよくありますが、そういうものを 初期条件と呼びます(これは $t$ が時刻を表す変数で、$t_0$ を現象が 始まる時刻のように解釈するからでしょう)。

例えば、上の例 1, 3 に対して

$$x(0)=x_0 \quad \hbox{($x_0$ は既知定数)},$$

例 2, 4, 5 に対して

$$x(0)=x_0, \quad x'(0)=v_0 \quad\hbox{($x_0$, $v_0$ は既知定数)}$$

のように与えられた条件が初期条件です。また、初期条件を添えて解が決定さ れるようにした問題を、(常微分方程式の)初期値問題と言います。