7.2 Riesz の表現定理

(この節は読みやすさは別にして十分整理できている。)

$K=\R$ または $\C$ とし、を上の内積空間 (pre-Hilbert 空間)、 $(\cdot,\cdot)_X$ をその内積とする。

の双対空間は (位相線形空間の一般論に従って)

$\displaystyle X'=\{T; T\colon X\to K$ 連続線形 $\displaystyle \}$

として定義されるが、今の場合

は

$\displaystyle \Vert x\Vert _X=\sqrt{(x,x)_X}$

をノルムに持つノルム空間であるから、

自身

$\displaystyle \Vert T\Vert _{X'}=\sup_{x\ne 0}\frac{\vert T(x)\vert}{\Vert x\Vert _X}$

というノルムにより Banach 空間になる。

$u\in X$ に対して、

$\displaystyle T_u\colon X\ni x\mapsto (x,u)\in K$

で定義される

は

上の連続線型形式である。実際、線形性は明らかで、連続性も Schwarz の不等式から

$\displaystyle \vert T_u(x)\vert=\vert(x,u)\vert\le \Vert u\Vert \Vert x\Vert$ $\displaystyle \mbox{($x\in X$)}$

という有界性の条件が得られて証明できる。これから $\Vert T_u\Vert _{X'}\le \Vert u\Vert _X$ が分かるが、実は等号が成り立つ:

(7.1)

$\displaystyle \Vert T_u\Vert _{X'}=\Vert u\Vert _X.$

(実際 $\Vert T_u(u)\Vert _X/\Vert u\Vert _X=\Vert u\Vert _X$ であるから $\Vert T_u\Vert _{X'}\ge \Vert u\Vert _X$ という逆向きの不等式が得られる。)

$X\ni u\mapsto T_u\in X'$ という写像をで表す。つまり

$\displaystyle J (u)=T_u$ $\displaystyle \mbox{($u\in X$)}$ $\displaystyle .$

は $K=\R$ のとき線型、 $K=\C$ のとき共役線型となる。すなわち、

	$\displaystyle J(u+v)=J(u)+J(v)$ $\displaystyle \mbox{($u,v\in X$)}$ $\displaystyle ,$
	$\displaystyle J(\lambda u)=\overline\lambda J(u)$ $\displaystyle \mbox{($u\in X$, $\lambda\in K$)}$ $\displaystyle .$

(7.1) からは等長写像 ( $\Vert J u\Vert _{X'}=\Vert u\Vert _X$ ) であるから、

$\displaystyle \Vert J(u)-J(v)\Vert=\Vert J(u-v)\Vert=\Vert u-v\Vert$ $\displaystyle \mbox{($u,v\in X$)}$

となるので、

は連続かつ

対

写像である。

ここまでをまとめておこう。

$\begin{jlemma}[内積空間からその双対空間への標準的な単射] $K... ...役線型な等長写像 (ゆえに連続かつ単射) である。 \end{jlemma}$

が Hilbert 空間である場合は、は全射になる。すなわち次の定理が成り立つ。

$\begin{jtheorem}[Riesz の表現定理]\upshape $K=\R$\ または $K=\C$\ で�... ...$\ の場合、$J$\ は Hilbert 空間の同型写像である。 \end{jtheorem}$

(この定理の証明はとりあえず略。関数解析のテキストならば必ず載っている。あるいは

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/functional-analysis-1.pdf

を見よ。)

$\begin{jcorollary}[Hilbert 空間の共役空間は Hilbert 空間] $X$\ を Hi... ... \end{displaymath}を内積とする Hilbert 空間となる。 \end{jcorollary}$

特にが実 Hilbert 空間のとき、 $J\colon X\to X'$ は Hilbert 空間の同型写像である。

Riesz の定理から Hilbert 空間は反射的であることも示せる (ここでは証明略)。

次の命題もよく使われる。

$\begin{jproposition}[有界準双線型形式と有界線型作用素の対応] ... ...�式全体と $L(X)$\ 全体とが一対一に対応する。 \end{jproposition}$

証明

任意に $v\in X$ を固定するとき、 $X\ni u\mapsto a(u,v)$ は上の連続線型形式である。これをと書くと、 $T\colon X\to X'$ という写像が定義できるが、は明らかに共役線型である。また

$\displaystyle \sup_{\Vert v\Vert _X=1}\Vert T v\Vert _{X'} =\sup_{\Vert v\Vert... ...rt _X=1}\sup_{\Vert u\Vert _{X}=1}\vert a(u,v)\vert \equiv\Vert a\Vert<\infty$