7.1 埋め込み写像

集合 $X$ から集合 $Y$ への $1$ 対 $1$ 写像 (単射) $\iota\colon X\to Y$ があるとき、 $\iota(X)\subset Y$ であるが、 $\iota(X)$ と $X$ を同一視することで、 $X\subset Y$ とみなすことが よくある。

例: 普通の関数を超関数であるとみなす場合など。

このような場合、 $\iota$ を埋め込み写像あるいは標準単射と呼び、 $X\subset Y$ とみなすことを、 $X$ を $Y$ に埋め込むという。

$X$ と $Y$ に構造 (位相空間であるとか、線型空間であるとか) が入って いる場合は、$\iota$ の性質がそれと整合することをしばしば 要求する。

例えば $X$ , $Y$ が位相空間の場合、$\iota$ が連続であるとしておくと、 $X$ で収束する列 (一般にフィルター) は $Y$ でも収束するし、$X$ への 連続写像を $Y$ への連続写像とみなすことが出来たり、$Y$ 上の連続関数を $X$ 上の連続関数とみなすことが出来たりする。