7.3 埋め込まれた空間の双対

証明

まず $\widetilde T=T\circ\iota\colon X\to\R$ は連続線形作用素の合成 写像であるから、連続線形作用素である。ゆえに $\widetilde T\in X'$ .

$\varphi$ の線形性は明らかである。例えば

$$\varphi(T+S)(x)=(T+S)(\iota(x)) =T(\iota(x))+S(\iota(x)) =\varphi(T)(x)+\varphi(S)(x) =(\varphi(T)+\varphi(S))(x)$$

が $\forall x\in X$ に対して成り立つことから $\varphi(T+S) =\varphi(T)+\varphi(S)$ . $\lambda\in R$ に対して $\varphi(\lambda T) =\lambda \varphi(T)$ となることも同様に示せる。

$\varphi\colon Y'\to X'$ が 連続であること。 $\forall T\in Y'$ に対して

$$\vert\varphi(T)(x)\vert=\vert T(\iota(x))\vert\le \Vert T\Vert _{... ...\Vert _Y \le \Vert T\Vert _{Y'}\Vert\iota\Vert _{{\cal L}(X,Y)}\Vert x\Vert _X$$   $$\mbox{($x\in X$)}$$

より

$$\Vert\varphi(T)\Vert _{X'}\le \Vert\iota\Vert _{{\cal L}(X,Y)} \Vert T\Vert _{Y'}.$$

これは $\varphi\colon Y'\to X'$ が連続であることを示す。

$\varphi\colon Y'\to X'$ が $1$ 対 $1$ であること。$T_1$ , $T_2\in Y'$ に対して

$$\varphi(T_1)=\varphi(T_2)$$

としよう。これは

$$\varphi(T_1)(x)= \varphi(T_2)(x)$$   $$\mbox{($x\in X$)}$$

ということだが、$\varphi$ の定義より

$$T_1(\iota(x))=T_2(\iota(x))$$   $$\mbox{($x\in X$)}$$$$.$$

$\iota(X)$ が $Y$ において稠密で、$T_1$ , $T_2$ がともに $Y$ 上の連続 写像であることから、

$$T_1=T_2.$$

ゆえに $\varphi$ は $1$ 対 $1$ である。$\qedsymbol$

証明

$h\in X''$ が $\varphi(Y')$ 上で 0 になっているとする:

$${}_{X''}\langle h,\varphi(T)\rangle_{X'}=0$$   $$\mbox{($T\in Y'$)}$$$$.$$

$X''$ が回帰的であることから、 $\tilde h\in X$ が存在して

$${}_{X''}\langle h, S\rangle_{X'}={}_{X'}\langle S, \tilde h\rangle_{X}$$   $$\mbox{($S\in X'$)}$$$$.$$

ゆえに

$${}_{X'}\langle \varphi(T), \tilde h\rangle_{X}=0$$   $$\mbox{($T\in Y'$)}$$$$.$$

これは

$${}_{Y'}\langle T, \iota\tilde h\rangle_{Y}=0$$   $$\mbox{($T\in Y'$)}$$

ということ。これから $\iota\tilde h=0$ , ゆえに $\tilde h=0$ . ゆえに

$$h=0.$$

これは $\varphi(Y')$ が稠密であることを示している。 $\qedsymbol$

上の定理の記号は大げさ過ぎるので、覚え易い形に翻訳すると、

$X\subset Y$ が連続で稠密な Banach 空間の埋め込みで、$X$ が反射的 ならば、 $Y'\subset X'$ は連続で稠密な埋め込みとなる。

そして、この応用として

$$L^2=(L^2)'\subset (H^1_0)'=H^{-1}$$

は連続で稠密な埋め込みとなることが分かる。