2.2 $\R^n$ の標準内積の定義と Schwarz の不等式

$n$ を自然数とするとき、 $x=(x_1,\cdots,x_n)^T$ , $y=(y_1,\cdots,y_n)^T\in\R^n$ に対して

$$(x,y)\DefEq \sum_{i=1}^n x_i y_i$$ (2.1)

とおき、この $(x,y)$ を $x$ と $y$ の内積と呼ぶのであった。 次の命題の証明は明らかである。

我々は後で上の (1), (2), (3) を満たす $(\cdot,\cdot)$ を 一般に内積と呼ぶことになる。 つまり内積の概念を一般化するので、 (2.1) で定義される $(x,y)$ のことを $\R^n$ の標準内積または Euclid 内積と呼ぶことにする。

$$(x,y)=y^T x$$

が成り立つことに注意しておくと便利である。 例えば行列の積に関する結合則と、 公式 $(A B)^T=B^T A^T$ から

$$(A x,y)=y^T (A x)=(y^T A) x=(A^T y)^T x=(x,A^T y)$$

が分かる。 ゆえに $A$ が実対称行列のとき $(A x,y)=(x,Ay)$ が成り立つことが分かるが、 実は逆も成り立つ。

(i) $\Then$ (ii) は済んでいる。(ii) $\Then$ (i) を示す。 仮定から $\forall x,y\in\R^n$ に対して $(A x,y)=(x,Ay)$ であるが、 上で見たように $(Ax,y)=(x,A^T y)$ であるから、

$$(x,Ay)=(x,A^Ty).$$

これが任意の $x$ について成り立つことから $A y=A^T y$ が導かれる (実際 $(x,Ay-A^T y)$ であるから、 $x=A y-A^T y$ と選べば $A y-A^T y=0$ )。 これが任意の $y$ について成り立つことから $A=A^T$ . $\qedsymbol$

有名な Schwarz の不等式は、何と言っても基本的である。

(印象的ではあるが、幾何学的イメージの湧きにくい証明) $x$ と $y$ が $1$ 次独立ならば、任意の実数 $t$ に対して $tx+y\ne 0$ . ゆえに

$$(tx+y,tx+y)>0.$$

左辺を展開して

$$(x,x)t^2+2(x,y)t+(y,t)>0.$$

$t$ についての $2$ 次式の符号が一定であることから

$$\frac{\mbox{判別式}}{4}=(x,y)^2-(x,x)(y,y)<0.$$

ゆえに

$$(x,y)^2<(x,x)(y,y).$$

一方、$x$ と $y$ が一従属であるとき、 $(x,y)^2=(x,x)(y,y)$ が成り立つこ とを確かめるのは容易である。 $\qedsymbol$