- (i)
が相異なる3実根 を持つ場合。
と書ける。
- (a)
の場合、
とおくと、
.
- (b)
の場合、
とおくと、
.
- (ii)
が唯1つの実根
を持つ場合、
と書ける。
とおくと、
であるから、
は
の根であるので、
ゆえに
- (iii)
が少なくとも1つの虚根
を持つ4次式の場合は、
共役複素数
も根である。
他の2根を
,
と表し、
とおくと、
と
はともに実係数
次多項式で、
は既約であり、
と書ける。
- (a)
ならば、
とおくと、
- (b)
-
の場合。
まず、2次方程式
( ) |
 |
は相異なる2実根を持つことを示す。実際、
であるから、判別式
は、
一方
であるから、
,
が実数であるときは、
が既約であることから、
,
であるから、
.
一方、
,
が虚数であるときは、互いに複素共役であるから、
が実係数であることから、
.
ゆえに
.
いずれの場合も、(
) の判別式が正であるから、
(
) は相異なる2実根
,
を持つ。
とおくと、
であり、
ところが
,
の右辺の (
について) 1 次の係数はともに
0
である。実際、
ゆえに
- (iv)
- (工事中)
桂田 祐史