有理型関数の周期全体のなす集合は、加法群
の部分群である。
加法群
の部分群は次の3通り。
(i)
(ii)
は
個の元で生成される。
(iii)
は
個の元で生成されるが、
個の元では生成されない。
(H.C.)
,
が
上線形独立
.
楕円関数を表示するのに、(i)級数で表示する(部分分数展開?)、
(ii)整関数の商として表示する、2通りのやり方がある。
後者は例えばテータ関数を用いる。
有理型関数は局所的には正則関数の商に書けているが、
これから
全体で整関数の商に書けることを示すのは、
いわゆる Cousin の問題になり、
層係数コホモロジーの理論を使うと分かりやすい。
は Riemann面 (1次元複素多様体) である。
はコンパクトであり、種数 (直感的には穴の数) は
である
(2次元トーラスに同相だから)。
逆に種数
のコンパクトRiemann面は、
適当な
に対して
と書ける。
種数のコンパクトRiemann面のことを楕円曲線と呼ぶ。