A. メモ

有理型関数の周期全体のなす集合は、加法群 $\mathbb{C}$の部分群である。

加法群 $\mathbb{C}$ の部分群は次の3通り。 (i) $\Omega=0$    (ii) $\Omega$ は$1$個の元で生成される。 (iii) $\Omega$ は$2$個の元で生成されるが、$1$個の元では生成されない。 (H.C.)

$\omega$, $\omega$ が $\mathbb{R}$ 上線形独立 $\Iff$ $\omega/\omega'\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$.

楕円関数を表示するのに、(i)級数で表示する(部分分数展開？)、 (ii)整関数の商として表示する、2通りのやり方がある。 後者は例えばテータ関数を用いる。 有理型関数は局所的には正則関数の商に書けているが、 これから $\mathbb{C}$全体で整関数の商に書けることを示すのは、 いわゆる Cousin の問題になり、 層係数コホモロジーの理論を使うと分かりやすい。

$\mathbb{C}/\Omega$ は Riemann面 (1次元複素多様体) である。 $\mathbb{C}/\Omega$ はコンパクトであり、種数 (直感的には穴の数) は$1$である (2次元トーラスに同相だから)。 逆に種数$1$のコンパクトRiemann面は、 適当な $\Omega$ に対して $\mathbb{C}/\Omega$ と書ける。

種数$1$のコンパクトRiemann面のことを楕円曲線と呼ぶ。