8.7 これまでに悟ったこと (現在進行形)

• まだ全体像が見えていないけれど、 楕円積分、楕円関数は、どうやらとても上手く標準化出来ているらしい。
• AGM は楕円積分、楕円関数の計算に幅広く利用でき、また非常に効率的である。 倍精度の値を得るために、反復回数は 5 回程度 (AGM は2次の収束をするので、そんなものなのだろう)。 楕円関数を計算するためには、 反復1回ごとに平方根、$\sin$, $\arcsin$ が必要になるが、 5回ならばそれほど大変ではない。
• 複素関数としての Jacobi の楕円関数の計算に必要な算術幾何平均の計算は、 実関数の場合のちょうど2倍程度。これ本当かな？ なんとうまく出来ているのだろう。
• 楕円積分は、導関数が初等関数では求められなくても、 非常に効率的な計算法が確立されていた、ということのようだ。 Gauss が $\dsp\int_0^1\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}$ を高精度に計算していたのは、 きわめて自然だったわけだ。

なんか、すごく面白いんですけど。