5.1 二重周期有理型関数としての楕円関数

$\begin{jdefinition} $\omega_1$, $\omega_2$ が $\mathbb{R}$ 上独立な複�... ...THEN a=b=0] \end{displaymath}が成り立つことをいう。 \end{jdefinition}$

要するに、 $\mathbb{C}$ を $\mathbb{R}^2$ と同一視したとき、線形独立なベクトルということである。この条件は $\omega_1/\omega_2\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ と同値である。

$\begin{jdefinition} $\Gamma\subset\mathbb{C}$ とする。 $\Gamma$ が $\mat... ...a_1$, $\omega_2$ を $\Gamma$ の\textbf{基底}と呼ぶ。 \end{jdefinition}$

$\begin{jproposition} $\Gamma$ を $\mathbb{C}$ の格子群とする。 \begi... ...mega_2')$ は $\Gamma$ の基底である。 \end{enumerate}\end{jproposition}$

証明. (簡単なので省略する。) $\qedsymbol$

$\begin{jexample} $(\omega_1,\omega_2)$ が $\Gamma$ の基底であるとき�... ...\omega_2,\omega_1+\omega_2)$ は $\Gamma$ の基底である。 \end{jexample}$

$\begin{jdefinition} $\Gamma$ を $\mathbb{C}$ の格子群、$(\omega_1,\ome... ...math}を $\Gamma$ の1つの\textbf{基本領域}という。 \end{jdefinition}$

$\begin{jdefinition} $\Gamma$ を $\mathbb{C}$ の格子群、$z,w\in\mathbb{C... ...playmath} z\equiv w\pmod \Gamma \end{displaymath}と表す。 \end{jdefinition}$

$\begin{jdefinition} $\Gamma$ を $\mathbb{C}$ の格子群とする。 $f$ �... ...��底のことを楕円関数 $f$ の基本周期と呼ぶ。 \end{jdefinition}$

$\begin{jproposition} $f$, $g$ を格子群 $\Gamma$ を周期群とする楕�... ... も $\Gamma$ を周期群とする楕円関数である。 \end{jproposition}$

証明. 簡単なので省略する。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

桂田祐史