3.2.1 $\sn(\cdot;k)$

$k\in[0,1]$ とする。 $k=1$ のときは $(-1,1)$ において、$0\le k<1$ のときは $[-1,1]$ において、 関数

$$x\mapsto F(x;k)=\int_0^x\frac{\D t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}$$

が定義出来て、単射である。 値域はそれぞれ $\mathbb{R}=(-K(k),K(k))$, $[-K(k),K(k)]$ である。 (まとめて $\overline{(-K(k),K(k))}$ と書くことも出来るけれど、 ちょっと苦し紛れかも。)

この関数の逆関数を $\sn(\cdot;k)$ とする。 すなわち、 $k=1$ のときは $\sn(\cdot;k)\colon \mathbb{R}=(-K(k),K(k))\to (-1,1)$, $0\le k<1$ のときは $\sn(\cdot;k)\colon [-K(k),K(k)]\to [-1,1]$ であり、

$$u=F(x;k)=\int_0^x\frac{\D t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} \quad\Iff\quad x=\sn(u;k).$$

もとの関数が狭義単調増加な奇関数であるから、 $\sn(\cdot;k)$ もそうである。

次のようにも書ける。

$$\sn^{-1}(x;k) =\int_0^x\frac{\D t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} =\int_0^{\arcsin x}\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}$$

$$k<1 x\in[-1,1] k=1 x\in(-1,1) .$$