2.5 Legendreの関係式

(準備中)

四ッ谷・村井 [13] にあるが、 桂田 [5] の付録 E「楕円積分とAGM」もチェックすること。 ここを完備化するよりも [5] を完成させる方が良い。


\begin{jproposition}[Legendreの関係式]
$0\le k<1$
\begin{equation}
\frac{E(...
...}\cdot\frac{1}{K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)}.
\end{equation}\end{jproposition}

次の2つの命題によって、$ K(k)$, $ E(k)$ が AGM で計算できることが分かる。 有限項で切った時の評価式が村井・松本・四ッ谷 [17] で発表されている ([13])。


\begin{jproposition}
$0\le k<1$
\begin{displaymath}
\mathrm{AGM}(1,\sqrt{1-k^2})=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{K(k)}.
\end{displaymath}\end{jproposition}


\begin{jproposition}
$0\le k<1$
\begin{displaymath}
\frac{E(k)}{K(k)}=1-\sum_{n=0}^\infty 2^{n-1}c_n^2.
\end{displaymath}\end{jproposition}


\begin{jproposition}[Gauss]
\begin{displaymath}
\pi=\frac{2\mathrm{AGM}(1,1/\sq...
...t(1-m^2\right)}
\quad\text{(変な感じ)}.
\end{displaymath}\end{jproposition}

えーと、以前書いたノートにも

$\displaystyle K(k)=\frac{\pi}{2}\frac{1}{M(1,\sqrt{1-k^2})},\quad
\frac{\pi}{2}=\frac{M(1,1/\sqrt{2})^2}{1-\dsp\sum_{n=0}^\infty 2^n c_n^2}
$

とある。$ \pi$ を表す公式は一致している。

$\displaystyle \mathrm{AGM}(1,\sqrt{1-k^2})=\frac{\pi}{2}\frac{1}{K(k)}$   だから$\displaystyle \quad
\mathrm{AGM}(1,k)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{K(\sqrt{1-k^2})}
$



桂田 祐史