2.2.1 Legendre-Jacobi の標準形

楕円積分は変数変換と式変形により、次の3種類の積分と初等関数で表される (そうだ)。 $k\in[0,1]$ として、

$$\int\frac{\Dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}},$$

$$\int\sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}\Dx,$$

$$\int\frac{\D x}{(1+nx^2)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}.$$

一方、この3種類の積分は、$k=0,1$ などの特別の場合を除くと、 初等関数では表すことができない。 そこで逆にこれを使って新しい関数を導入する。

$$F(x;k)=\int_0^x\frac{\D t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},$$ (2)

$$E(x;k)=\int_x^1\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\D t,$$ (3)

$$\Pi(n;x;k)=\int_x^1\frac{\D t}{(1+n t^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}. \texttt{おかしい？}$$ (4)

上から順に、第1種,第2種,第3種の楕円関数の標準形と呼ぶ。

$k$ を母数 ((elliptic) modulus, eccentricity), $n$ をパラメーターと呼ぶ。 $n$ は (通常) $n\in[-1,\infty)$ の範囲を動く。

$k$ の代わりに、 $k=\sin \alpha$, $\alpha\in[0,\pi/2]$ となる $\alpha$ を使うことも多い。 $\alpha$ を modular angle と呼ぶ。

$k$ の代わりに、$m=k^2$ となる $m$ を使う流儀もある (割と多い)。 $m$ をパラメーターと呼ぶ。

覚えておくべき式

$$m=k^2=\sin^2\alpha.$$

一方で、$x$ の代わりに、 $x=\sin\varphi$ を満たす $\varphi$ を変数に採用することもある。 $\varphi$ を amplitudeと呼ぶ。

( $t=\sin\theta$ と変数変換して)

$$F(\varphi,k)=F(\varphi\mid k^2):=F(\sin\varphi;k) =\int_0^\varphi\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta }\;},$$

$$E(\varphi,k)=E(\varphi\mid k^2):=E(\sin\varphi;k) =\int_0^\varphi\sqrt{1-k^2\sin^2\theta }\;\D\theta,$$

$$\Pi(\varphi,k,n)= \int_0^\varphi\frac{\D\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}.$$

$k=0,1$ の場合は、$F(x;k)$ は初等関数で表すことができる。

$k=0$ のとき、 $x\in[-1,1]$ に対して、 $x=\sin\varphi$ ( $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$) となる $\varphi$ を取ると、 $t=\sin\theta$ という変数変換で

$$F(x;0)=\int_0^x\frac{\D t}{\sqrt{1-t^2}} =\int_0^\varphi\;{\D\theta}=\varphi=\sin^{-1}x.$$

$k=1$ のとき、

$$F(x;1) =\int_0^x\frac{\D t}{\sqrt{(1-t^2)(1-t^2)}} =\int_0^x\frac{\D t}{... ...0^x\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\D t =\frac{1}{2}\log\frac{x+1}{1-x}$$

$$=\tanh^{-1} x.$$

まとめておく。

$$F(x;0)=\sin^{-1}x,\quad F(x;1)=\frac{1}{2}\log\frac{x+1}{1-x}=\tanh^{-1} x.$$ (5)