D..4.1 Mathematicaでやってみよう

典型的な極値問題。微分係数が 0 となる点を求めて、 そこで Hesse 行列を求めて、符号 (正値？負値？不定符号？) を調べて、 極値かどうかを判定する。

$$f(x,y):=2x^3+6x y^2-2x$$

In[1] := f[x_,y_]:=2x^3+6x y^2-2x
In[2] := jf[x_,y_]:=D[f[a,b],{{a,b}}]/.{a->x,b->y}
In[3] := jf[x,y]
In[4] := H[x_,y_]:=D[f[a,b],{{a,b},2}]/.{a->x,b->y}
In[5] := MatrixForm[H[x,y]]

(ヤコビ行列を表す記号として、 昔風の $Jf$ を思い出して使ったけれど、案外良いかもしれない。 合わせるために Hesse 行列を $Hf$ と表すか？)

$$f'(x,y)=\begin{pmatrix}6x^2+6y^2-2&12 x y\end{pmatrix}, \quad H(x,y)=12 \begin{pmatrix} x & y\\ y& x \end{pmatrix}$$

停留点を求めて、Hesse行列を計算して、符号を調べてみる。

In[6] := sp=Solve[jf[x,y]=={0,0},{x,y}]
In[7] := H[x,y]/. sp
In[8] := Eigenvalues[H[x,y]]/. sp
In[9] := f[x,y]/.sp

$f'(x,y)=0$ となるのは

$$(x,y)=\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right), \left(0,-\frac{1}{\sqrt... ...ght), \left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right), \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right).$$

$$H\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =\begin{pmatrix}0 & -4\sqrt{3... ...1}{\sqrt{3}}\right) =\begin{pmatrix}0 & 4\sqrt{3}\ 4\sqrt{3} & 0\end{pmatrix}$$

はともに (固有値が $\pm4\sqrt{3}$ なので) 不定符号であるから、 $(x,y)=(0,\pm 1/\sqrt{3})$ では $f$ は極値を取らない。

$$H\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right) =\begin{pmatrix}-4\sqrt{3}& 0 \ 0&-4\sqrt{3}\end{pmatrix}$$

の固有値は $-4\sqrt{3}<0$ (重根) なので、 $H\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)$ は負値である。 ゆえに、 $(x,y)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)$ で $f$ は極大となり、 極大値は $f\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$.

$$H\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right) =\begin{pmatrix}4\sqrt{3}& 0 \ 0& 4\sqrt{3}\end{pmatrix}.$$

の固有値は $4\sqrt{3}>0$ (重根) なので、 $H\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)$ は正値である。 ゆえに、 $(x,y)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)$ で $f$ は極小となり、 極小値は $f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)= -\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$.

$(1,1)$ での接平面は $z=f'(1,1)\begin{pmatrix}x-1\ y-1\end{pmatrix}+f(1,1)$ であるから、

In[10] := Simplify[jf[1,1].{x-1,y-1}+f[1,1]]

と計算して、これから

$$z=2(5x+6y-8).$$