... 古人の試みをかなり簡単に目の前のコンピューターで再現することができます¹

一方、手計算で追試しようとすると、 とてもやる気になれないくらいの大計算が多いです。 コンピューターがなければ実際に遂行するのは困難でしょう。

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... 漸化式が便利なことが多いので、ここではその線で説明します²

漸化式というと、 それを与えられて「一般項を求めよ」という問題のネタにされる場合が 多い印象があるかもしれませんが、その逆に一般項は分かっているが、 それを計算するために漸化式を作る必要がある場合が少なくありません。

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... (誤差³

誤差とは、真の値と計算値との差、 この場合は $\pi-4s_n$ のことを言います。

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... 証明をしたのはアルキメデスと言われています⁴

有名な ユークリッドの原論には、 円の面積は $r^2$ に比例すると解釈される定理が載っていますが、 $\pi r^2$ とは言い切っていません。 論証数学として面積・体積を堂々と 取り扱ったのはアルキメデスが最初です。 例えば円錐や角錐の体積が「底面積×高さ÷3」であることを発見したのは、 原子論で有名なデモクリトスで、証明したのはアルキメデスです。 アルキメデスはまた放物線の囲む面積を求めることにも成功しています。 図形の重心の決定など、今だったら積分を使って計算するようなことを、 微積分のない時代に実行したのは、 まさに時代を越えた天才と言えるでしょう。

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... の師匠としても有名⁵

何でも 60 人の博士を出したとか。

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... を基礎としているわけですね⁶

細かいことを言うと、 $x=1$ が式に代入できることの検証はあまり簡単ではありません。 自力でレポートが書けたらそれだけで単位を出してもよいくらい。

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... 高い効率を実現します⁷

高野公式の計算時間が 400h, Stormer 公式の計算時間が 157h だったそうです。

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... そこでは、高野喜久雄⁸

高野喜久雄 (1927-2006, 佐渡に生まれ、 鎌倉にて没する) は詩人で、合唱曲の作詞などでも知られている。 -- なかなか素敵な WWW ページ (http://www.asahi-net.or.jp/~yp5k-tkn/) を持っていらっしゃいましたが、現在は残っていないようです。

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